Naar inhoud springen

Kettingregel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De kettingregel is een formule voor het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie. Veel functies zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de afgeleiden bekend zijn.

Als de functie de samenstelling is van de functies en , dus , dan is:

,

of geschreven met differentiaalquotiënten, waarbij men de samenstelling ook met aanduidt en zegt dat via van afhangt:

De integratie door substitutie is een van de meest gebruikte technieken om de primitieve functie van een gegeven functie te vinden en volgt uit deze kettingregel.

Formalisering

[bewerken | brontekst bewerken]

Laat en open intervallen zijn en en functies met . Als differentieerbaar is in het punt en differentieerbaar in het punt , dan is de samenstelling differentieerbaar in , en er geldt:

Schets van een bewijs

[bewerken | brontekst bewerken]

Dit bewijs is niet altijd geldig. Een voorbeeld hiervan is de constante functie. Er geldt dan dat

zodat in het bewijs door 0 zou worden gedeeld.

De functie

is de samenstelling van de functies

en

De afgeleide van kan met de kettingregel worden bepaald:

De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee functies zijn samengesteld. Beschouw de functie:

Deze functie is een 'ketting'

van de functies:

De afgeleiden van deze functies zijn:

De afgeleide van de oorspronkelijke functie is het product van alle afzonderlijke afgeleiden van de schakels, kort geschreven als:

dus:

en na invullen

Inverse functie

[bewerken | brontekst bewerken]

Met de kettingregel kan een verband gelegd worden tussen de afgeleiden van een functie en daarvan de inverse .

Er geldt immers: , zodat volgens de kettingregel:

zodat

De afgeleide van de arcsinus:

De afgeleide van de reciproque van een functie kan ook met de kettingregel worden bepaald. Er geldt immers: , met , zodat volgens de kettingregel:

Meer dan een variabele

[bewerken | brontekst bewerken]

Stel dat de samenstelling is van de afbeeldingen en in meer dan een variabele. Bijvoorbeeld

Dan heeft het begrip differentieerbaarheid nog steeds zin, en indien de functies en in de juiste punten differentieerbaar zijn, zijn hun afgeleiden in die punten lineaire afbeeldingen:

De meerdimensionale kettingregel zegt dat in dat geval ook differentieerbaar is in en dat zijn afgeleide daar de samengestelde lineaire afbeelding is van de afgeleiden van en

Als de betrokken lineaire afbeeldingen als rechthoekige matrices worden opgevat, die uit alle mogelijke partiële afgeleiden bestaan, dan is de matrix van gelijk aan het product van de matrices van en .

met en

Bijvoorbeeld voor :

Met aanvullend en geeft dit:

Als , dan

Hieruit volgt bijvoorbeeld de productregel.