Compacte groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een compacte (topologische) groep een topologische groep, waarvan de topologie compact is. Compacte groepen zijn een natuurlijke veralgemening van eindige groepen met discrete topologie en hebben eigenschappen die in belangrijke mate "meekomen". Compacte groepen hebben in relatie tot groepsbewerkingen en de representatietheorie een goed begrepen theorie.

In het hieronderstaande zullen we aannemen dat alle groepen voldoen aan de Hausdorff-eigenschap.

Compacte Lie-groepen[bewerken]

Lie-groepen vormen de mooiste klasse van topologische groepen, en de compacte Lie-groepen hebben een bijzonder goed ontwikkelde theorie. Basisvoorbeelden van compacte Lie-groepen zijn

De classificatiestelling van compacte Lie-groepen stelt dat "up to" eindige uitbreidingen en eindige dekkingen deze uitlaat de lijst van voorbeelden (die al enige redundanties bevat).

Classificatie[bewerken]

Gegeven een willekeurige compacte Lie-groep G kan men haar identiteitscomponent G0 nemen, die samenhangend is. De quotiëntgroep G/G0 is de groep van componenten π0(G), die eindig moet zijn aangezien G compact is. We hebben daarom een eindige uitbreiding

1\to G_0 \to G \to \pi_0(G) \to 1.\,

Nu heeft elke compact, samenhangende Lie-groep G0 een eindige dekking voor

1\to A\to \tilde{G}_0\to G_0\to 1\,

waar

A\sub Z(\tilde{G}_0)

een eindige abelse groep is en \tilde{G_0} een product is van een torus en een compacte, samenhangende, enkelvoudig samenhangende Lie-groep K:

\tilde{G}_0 \cong \mathbb T^m \times K.

Tenslotte is elke compact, samenhangende, enkelvoudig samenhangende Lie-groep K een product van compacte, samenhangende, enkelvoudig samenhangende enkelvoudige Lie-groepen Ki elk waarvan isomorf is aan precies een van

  • Sp(n), n ≥ 1
  • SU(n), n ≥ 3
  • Spin(n), n ≥ 7
  • G2, F4, E6, E7 of E8

Verdere voorbeelden[bewerken]

Onder groepen, die geen Lie-groepen zijn en die niet de structuur van een variëteit dragen, zijn voorbeelden de additieve groep Zp van p-adische gehele getallen en de constructies daarvan. In feite is elke profiniete groep een compacte groep. Dit betekent dat Galoisgroepen compacte groepen zijn, een fundamenteel feit uit de theorie van de algebraïsche uitbreidingen in het geval van oneindige graad.

Pontryagin-dualiteit biedt een groot aantal voorbeelden van compacte commutatieve groepen. Deze staan in dualiteit met abelse discrete groepen.

Haar-maat[bewerken]

Compacte groepen dragen allemaal een Haar-maat, die onveranderlijk door zowel links als rechts vertaling (de modulus functie moet een continu homomorfisme zijn met de positieve multiplicatieve reële getallen en is zo gelijk aan 1). Met andere woorden: deze groepen zijn unimodulair. De Haar-maat kan eenvoudig op een kansmaat worden genormaliseerd analoog aan dθ/2π op de cirkel.

Een dergelijke Haar-maat is in veel gevallen eenvoudig te berekenen; voor orthogonale groepen wist Adolf Hurwitz bijvoorbeeld reeds hoe dit moest. In gevallen van Lie-groepen kan de Haar-maat altijd worden gegeven door een invariante differentiaalvorm. In het profiniete geval zijn er vele deelgroepen van eindige index, en de Haar-maat van een nevenklasse zal de reciproke van de index zijn. Daarom zijn integralen vaak heel direct berekenbaar, een feit dat constant wordt toegepast in de getaltheorie.

Zie ook[bewerken]