Elektrisch vermogen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de elektriciteitsleer kan het elektrische vermogen betrekking hebben op verschillende grootheden, nl.:

  • het momentane vermogen p(t)
  • het werkelijke vermogen, ook werkzame of actieve vermogen P
  • het schijnbare vermogen S
  • het blindvermogen, ook reactieve vermogen Q
  • het complexe vermogen Sc

Elektrisch vermogen wordt gewoonlijk opgewekt door elektrische generatoren, van klein, zoals een fietsdynamo, tot groot, zoals de generatoren in een elektriciteitscentrale, maar ook accu's, batterijen, zonnepanelen leveren elektrisch vermogen. Het vermogen wordt toegeleverd aan verbruikers, zoals bedrijven en particulieren, maar ook apparaten die op accu's en batterijen werken zijn verbruikers. Voor het grootschalige transport van elektrisch vermogen is er een uitgebreid netwerk van hoogspanningskabels, zowel onder- als bovengronds, en leidingen voor lagere spanningen.

Momentane vermogen[bewerken]

Als een bron van elektrische energie op het tijdstip t een elektrische stroom i(t) levert bij een elektrische spanning u(t), is het momentane vermogen p(t) dat de bron levert:

p(t)=u(t)i(t).

Werkelijk vermogen[bewerken]

Het werkelijke vermogen, ook werkzame of actieve vermogen, is het vermogen dat gedissipeerd wordt in de ohmse component van de impedantie in het circuit. Het werkelijke vermogen wordt uitgedrukt in de eenheid watt (W).

Gelijkstroom[bewerken]

Is de bron een gelijkstroombron, dan zijn spanning en stroom constant:

u(t)=U en i(t)=I

en is het momentane vermogen gelijk aan het werkelijke vermogen P

P=p(t)=U\cdot I.

Dit vermogen wordt ontwikkeld in de ohmse weerstand R in het circuit. Volgens de wet van Ohm geldt:

P=U\cdot I=\frac{U^2}{R}=I^2 R.

Periodieke wisselstroom[bewerken]

Is de bron een periodieke wisselspanningsbron met spanning

u(t)=U\cos(\omega t),

en is Z=R+jX de totale impedantie in het circuit, dan is de stroomsterkte

i(t)=I\cos(\omega t -\varphi),

waarin \varphi het faseverschil is tussen de spanning en de stroom als gevolg van de niet-ohmse (reactieve) component van de impedantie.

Voor de momentane stroomsterkte geldt:


i(t)= I\,\cos(\omega t-\varphi) =I\left(\cos(\varphi)\cos(\omega t) +\sin(\varphi)\sin(\omega t) \right)=i_w(t)+i_b(t)
.

Daarin is

i_w(t) =I \cos(\varphi)\cos(\omega t)

de actieve stroomsterkte en

i_b(t)= I \sin(\varphi)\sin(\omega t)

de stroomsterkte van de zogeheten blindstroom. Het is deze blindstroom, die weliswaar in het circuit loopt, maar 90° in fase verschilt met de spanning en dus niet bijdraagt aan het werkelijk ontwikkelde vermogen. De blindstroom wordt a.h.w. niet gezien, vandaar de naam, en een gebruiker neemt dit vermogen ook niet af, omdat het periodiek wordt opgenomen en weer afgestaan. De blindstroom is de stroom ten gevolge van de reactieve componenten in het circuit. De capaciteiten in het circuit worden periodiek geladen en weer ontladen, en de aanwezige zelfinducties bouwen periodiek een magneetveld] op en breken het weer af.

Momentane vermogen[bewerken]

Het momentane vermogen kan uitgedrukt worden als:

p(t)=u(t)i(t)=u(t)(i_w(t)+i_b(t))=p_w(t)+p_b(t),

opgebouwd uit het momentane werkelijke vermogen


p_w(t)=u(t)i_w(t)=U\cdot I \cos(\varphi)\cos^2(\omega t)= U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}\cdot  \cos(\varphi) (1+\cos(2\omega t))
,

variërend met de dubbele frequentie tussen de minimale waarde 0 en de maximale waarde

U\cdot I\cdot \cos(\varphi)=2\,U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}\cdot \cos(\varphi),

en het momentane blindvermogen


p_b(t)= u(t)i_b(t)=U\cdot I \cos(\omega t)\sin(\varphi) \sin(\omega t)=
U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}\cdot \sin(\varphi) \sin(2\omega t)
,

periodiek wisselend met de dubbele frequentie en amplitude

\tfrac 12 U\cdot I\cdot \sin(\varphi)=U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}\cdot \sin(\varphi).

Werkelijk vermogen[bewerken]

Het werkelijke vermogen P is het gemiddeld gedissipeerde vermogen in de ohmse component R van de impedantie:

P=\frac 1T \int_0^T i^2(t)R\mathrm{d}t=\frac{I^2\cdot R}{T} \int_0^T \cos^2(\omega t-\varphi)\mathrm{d} t=\frac{I^2\cdot R}2 = I_{\rm{eff}}^2\cdot R = U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}\cdot\cos(\varphi).

Er geldt immers:

R = \Re(Z)=\frac UI \cos(\varphi).

De grootheden

U_{\rm{eff}}=\frac U{\sqrt 2} en I_{\rm{eff}}=\frac I{\sqrt 2}

zijn de effectieve waarden van de spanning en de stroom.

Het werkelijke vermogen P is ook het gemiddelde van het momentane vermogen, of equivalent van het momentane werkelijke vermogen, over een periode T:

P=\frac 1T \int_0^T p_w(t)\mathrm{d}t=U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}\cdot\cos(\varphi)\int_0^T \left(1+\cos(2\omega t)\right)\mathrm{d}t = U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}\cdot\cos(\varphi).

Zowel de actieve stroom als de blindstroom dragen bij aan het werkelijke vermogen en wel als de som van hun afzonderlijk ontwikkelde vermogens. Er geldt immers:


P=\frac 1T \int_0^T i^2(t)R\mathrm{d}t=\frac 1T \int_0^T (i_w(t)+i_b(t))^2R\mathrm{d}t=\frac 1T \int_0^T (i_w^2(t)+i_b^2(t)+2i_w(t)i_b(t))R\mathrm{d}t=
=\frac 1T \int_0^T i_w^2(t)R\mathrm{d}t+\frac 1T \int_0^T i_b^2(t)R\mathrm{d}t=P\cos^2(\varphi)+P\sin^2(\varphi)
,

want

\frac 1T \int_0^T i_w(t)i_b(t))\mathrm{d}t=0.

De energie verbonden met het door de blindstroom gedissipeerde vermogen P\sin^2(\varphi) gaat nutteloos verloren.

Schijnbaar vermogen[bewerken]

De effectieve waarden U_{\rm{eff}} en I_{\rm{eff}} van respectievelijk de spanning en de stroomsterkte suggereren dat in het circuit een vermogen

S=U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}

ontwikkeld wordt. Dit is echter maar schijn omdat er tussen de spanning en de stroom (mogelijk) een faseverschil bestaat. De grootheid S heet daarom schijnbaar vermogen. Om duidelijk te maken dat het slechts een schijnbaar vermogen is, wordt het niet uitgedrukt in watt, maar in de eenheid voltampère {VA).

Blindvermogen[bewerken]

De blindstroom i_b(t)= I \sin(\varphi)\sin(\omega t) geeft aanleiding tot het momentane blindvermogen


p_b(t)= u(t)i_b(t)=U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}\cdot  \sin(\varphi) \sin(2\omega t)
,

een vermogen dat gedurende een halve perioide door de bron geleverd wordt en gedurende de andere halve periode aan de bron teruggeleverd wordt, met gemiddeld over een periode de waarde 0. De amplitude van dit vermogen

Q=U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}\cdot  \sin(\varphi)

wordt het blindvermogen of reactieve vermogen genoemd. Het is een maat voor de verliezen die de bron lijdt in de inwendige weerstand, inclusief de toevoerleidingen, en waarvoor de bron in principe geen vergoeding krijgt. Ook het blindvermogen wordt niet uitgedrukt in watt, maar in de speciaal daarvoor bestemde eenheid voltampère reactief (VAr).

Voorbeeld[bewerken]

In ondergrondse kabels is de afstand tussen de aders klein, zodat ze een tamelijk grote capaciteit vertegenwoordigen. Zo heeft de ca. 11,5 km lange 380-kV-Transversale Berlin, een grotendeels ondergrondse kabel in het stadsgebied van Berlijn, een capaciteit van 2,2 μF. Bij 50 Hz loopt daardoor een blindstroom van effectief ca. 263 A in het circuit. Het bijbehorende deel van het blindvermogen is ca. 0{,}380\times 263\approx 100 MVAr. In de praktijk is daardoor de zinvolle lengte van een ondergrondse kabel tot ongeveer 70 km beperkt.

Arbeidsfactor[bewerken]

Niet al het schijnbaar ontwikkelde vermogen, uitgedrukt door het schijnbare vermogen S=U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}, wordt omgezet in arbeid en/of warmte, maar slechts het deel werkelijk vermogen P=U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}\cdot  \cos(\varphi). De verhouding tussen werkelijk vermogen en schijnbaar vermogen, \cos(\varphi), wordt de arbeidsfactor genoemd.

Complex vermogen[bewerken]

Het complexe vermogen Sc is de vectorsom van het werkelijke vermogen P en het blind vermogen Q. Het schijnbare vermogen is de grootte S van het complexe vermogen. De hoek \varphi is de fasehoek tussen spanning en stroom

De stroom kan opgebouwd gedacht worden uit de werkelijke stroom, die in fase is met de spanning, en de blindstroom, die 90° in fase verschilt met de spanning. Het is daarom gebruikelijk het vermogen voor te stellen als een vector Sc in het complexe vlak met als componenten het werkelijke vermogen P langs de reële as en het blindvermogen Q langs de imaginaire as. Het complexe vermogen is dus gedefinieerd als:

Sc=P+jQ=U_{\rm{eff}}\cdot I_{\rm{eff}}\cdot \left(\cos(\varphi)+j\sin(\varphi)\right)=S\,e^{j\varphi}.

Het schijnbare vermogen

S=|Sc|=\sqrt{P^2+Q^2}

is de absolute waarde van het complexe vermogen.

Externe links[bewerken]