Hadamardmatrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde, is een Hadamardmatrix een vierkante matrix waarvan de elementen +1 dan wel −1 zijn, en waarvan de rijen onderling orthogonaal zijn. Dat wil zeggen dat elk tweetal van elkaar verschillende rijen in een Hadamardmatrix twee loodrechte vectoren representeren. Dergelijke matrices zijn vrijwel ongewijzigd bruikbaar als een foutcorrigerende code (waarvan overigens de Reed-Mullercode een generalisatie is), en worden ook toegepast in 'balanced repeated replication' (BRR), toegepast door statistici om de variantie van een parameter-schatter vast te stellen. Hadamardmatrices zijn genoemd naar de Franse wiskundige Jacques Hadamard.

Eigenschappen[bewerken]

Uit de definitie volgt dat voor een Hadamardmatrix H van orde n geldt dat

 H^{\mathrm{T}} H = n I_n \

waarbij In de n × n eenheidsmatrix is. Dus \det H =\pm n^{n/2}.

Neem aan dat M een complexe matrix is van de orde n, waarvan de elementen worden begrensd door |Mij| ≤1, voor alle i, j tussen 1 en n. Dan stelt de ongelijkheid van Hadamard dat

 |\operatorname{det}(M)| \leq n^{n/2}.

Gelijkheid wordt in deze vergelijking bereikt voor een reële matrix M dan en slechts dan als M een Hadamardmatrix is.

De orde van een Hadamardmatrix moet zijn 1, 2, of een veelvoud van 4.

Sylvesters constructie[bewerken]

Voorbeelden van Hadamardmatrices werden als eerste geconstrueerd door James Joseph Sylvester in 1867. Zij H een Hadamardmatrix van orde n. Dan is de gepartitioneerde matrix

\begin{bmatrix} H & H\\ H & -H\end{bmatrix}

een Hadamardmatrix van de orde 2n. Deze constatering kan worden herhaald, waardoor een rij matrices ontstaat, bekend onder de naam Walsh matrices.


H_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix},

H_2 = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1 \end{bmatrix},

en


H_{2^k} = \begin{bmatrix}
H_{2^{k-1}} & H_{2^{k-1}}\\
H_{2^{k-1}} & -H_{2^{k-1}}\end{bmatrix} = H_2\otimes H_{2^{k-1}},

voor  2 \le k \in N , waarbij \otimes staat voor het Kroneckerproduct.

Op deze wijze construeerde Sylvester voor elk niet-negatief geheel getal k een Hadamardmatrix van de orde 2k. [1]

Sylvesters matrices bezitten een aantal speciale eigenschappen. Ze zijn symmetrisch en hebben een spoor gelijk aan nul. De elementen in de eerste kolom en de eerste rij zijn allemaal positief. Van de elementen in alle andere rijen en kolommen zijn er evenveel positief als negatief. Sylvesters matrices zijn nauw gerelateerd aan Walshfuncties.

Voetnoten[bewerken]

  1. J.J. Sylvester. Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous sign successions, and tessellated pavements in two or more colours, with applications to Newton's rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers. Philosophical Magazine, 34:461-475, 1867