Lijnvermenigvuldiging

Een lijnvermenigvuldiging (ook wel axiale vermenigvuldiging) is een afbeelding (transformatie) van het euclidische vlak op zichzelf, waarbij twee vaste rechte lijnen $a$ en $r$, die niet evenwijdig zijn, en een reëel getal $k\neq 0$ een rol spelen bij het bepalen van het beeldpunt $P'$ van een punt $P$ in dat vlak.

Het beeld $P'=V(P)$ van ieder punt $P$ bij een lijnvermenigvuldiging $V$ wordt als volgt bepaald (zie figuur 1):

• Het punt $O$ (verderop ter onderscheid, bij een punt $X$, ook wel geschreven als $O_{x}$) is het snijpunt met de lijn $a$ van de lijn $p$ die door het punt $P$ gaat en die evenwijdig is met de lijn $r$.
• Het punt $P'$ ligt zó op de lijn $p$ dat $OP'=|\,k\,|\cdot OP$.
• Als $k>0$ is, dan liggen $P$ en $P'$ aan dezelfde kant van $O$. Is $k<0$, dan liggen $P$ en $P'$ aan verschillende kanten van $O$ (het punt $O$ ligt dan op het lijnstuk $PP'$).

fig. 1. Definitie lijnvermenigvuldiging

Naamgeving

De lijn $a$ is de affiniteitsas (of collineatie-as) van $V$, kortweg ook wel de as van $V$. De (richting van de) lijn $r$ is de richting van $V$. Het getal $k$ is de (vermenigvuldigings)factor van $V$.

Als $a$ en $r$ niet loodrecht op elkaar staan, dan is $V$ scheef: een scheve lijnvermenigvuldiging ten opzichte van de as $a$ met richting $r$.

Als $a$ loodrecht staat op $r$, dan is $V$ recht (of orthogonaal): een rechte lijnvermenigvuldiging ten opzichte van de as $a$. In dit laatste geval wordt het woord ‘rechte’ soms weggelaten.

Als $k=1$ is, is $V$ de zogeheten identieke afbeelding: voor ieder punt $P$ is dan $V(P)=P$.

Een andere definitie

fig. 2. Definitie met $R$ en $R'$ op $r$; $k<0$

De factor $k$ kan ook worden vastgelegd door een gegeven punt $R$ en het beeldpunt $R'$ daarvan. Deze punten worden meestal op de lijn $r$ gekozen.

Liggen $R$ en $R'$ daarbij aan verschillende kanten van $O_{r}$ (het snijpunt van $r$ en $a$), dan is $k$ negatief; zie figuur 2, waarin $k\approx -0,46$.

N.B. Als het getal $k$ op deze manier wordt vastgelegd, is de lijnvermenigvuldiging van een punt geheel met passer en (ongemerkte) liniaal uit te voeren. Het op de lijn $a$ liggend punt $S$ van de verbindingslijn tussen $R$ en het te vermenigvuldigen punt $P$ speelt daarbij een ‘intermediërende’ rol.

Eigenschappen

In deze paragraaf is $V$ een scheve of rechte lijnvermenigvuldiging t.o.v. de as $a$, met richting $r$ en met $k\neq 1$.

• De lijn $a$ is invariant onder $V$: voor ieder punt $S$ van $a$ is $V(S)=S$.
• De lijn $r$ wordt niet puntsgewijs op zichzelf afgebeeld: voor ieder punt $R$ van $r$ geldt dat $R'=V(R)$ op de lijn $r$ ligt, waarbij dan $R'\neq R$ (als $R=O_{r}$, dan is $k=0$, en die waarde is uitgesloten).
• Een rechte lijn wordt door $V$ afgebeeld op een rechte lijn. Het snijpunt van een lijn en diens beeldlijn ligt op de lijn $a$ (mits die lijn niet evenwijdig is met $r$).
• Een deelverhouding op een lijnstuk is gelijk aan de (door $V$ ingesneden) deelverhouding op het beeldlijnstuk; zie figuur 3, waarin $(PQD)=(P'Q'D')$.
• Evenwijdige lijnen worden door $V$ afgebeeld op evenwijdige lijnen; zie figuur 4.

Op grond van deze eigenschappen behoren de lijnvermenigvuldigingen tot de zogeheten affiene transformaties van het vlak.

fig. 3. Deelverhouding is invariant

fig. 4. Evenwijdigheid is invariant

Twee toepassingen

fig. 5. Toepassing op de grafiek van een functie

1. Bij grafieken van functies (in een standaard $xOy$-assenstelsel) wordt de lijnvermenigvuldiging gebruikt bij verticaal en horizontaal vermenigvuldigen van (de grafiek van) de functie (richtingverschaling); dat wil zeggen:

a. verticaal vermenigvuldigen – het toepassen van een (rechte) lijnvermenigvuldiging t.o.v. de $x$-as;

b. horizontaal vermenigvuldigen – het toepassen van een (rechte) lijnvermenigvuldiging t.o.v. de $y$-as.

Voorbeeld. In figuur 5 is de grafiek van de functie $y=f(x)=3-|\,x-3\,|$ weergegeven op het interval $[0\,;\,6]$. Het beeld van (de grafiek van) $f$ is bepaald met de verticale vermenigvuldiging $V_{x}$ waarbij $k=1{\tfrac {1}{2}}$; daarbij is $V_{x}(P)=P'$. De grafiek van het $V_{x}$-beeld van de grafiek van $f$ heeft daarmee het voorschrift:

$y=1{\tfrac {1}{2}}(3-|\,x-3\,|)=4{\tfrac {1}{2}}-1{\tfrac {1}{2}}|\,x-3\,|$

In dezelfde figuur is op $f$ ook de horizontale vermenigvuldiging $V_{y}$ met $k=1{\tfrac {1}{3}}$ toegepast, beperkt tot het interval $[0\,;\,3]$ op de $y$-as. Daarbij is $V_{y}(Q_{1})=Q_{1}'$ en $V_{y}(Q_{2})=Q_{2}'$.

Is nu $Q=(x_{o},y_{o})$, voor $Q=Q_{1},\,Q_{2}$, dan is:

$V_{y}(Q)=(1{\tfrac {1}{3}}x_{o},y_{o})=(x_{n},y_{n})$

zodat:

$x_{n}=1{\tfrac {1}{3}}x_{o}$ en $y_{n}=y_{o}$

Omdat zo’n punt $Q$ op de grafiek van $f$ ligt, geldt ook:

$y_{o}=3-|\,x_{o}-3\,|$

Daaruit volgt door substitutie:

$y_{n}=3-|\,{\tfrac {3}{4}}x_{n}-3\,|$

Het functievoorschrift van het $V_{y}$-beeld van de (grafiek van de) functie $f$ is dan:

$y=3-|\,{\tfrac {3}{4}}x-3\,|$

fig. 6. Toepassing op een cirkel

2. In de meetkunde wordt de lijnvermenigvuldiging gebruikt bij de analytische behandeling van de ellips: het beeld van een cirkel bij een rechte (of scheve) lijnvermenigvuldiging t.o.v. een middellijn van die cirkel is namelijk een ellips.

Voorbeeld. Zie figuur 6, waarin $AA_{t}$ een middellijn is van de cirkel $G$. De vergelijking van $G$, met middelpunt $O$ en straal $a$, is in een standaard $xOy$-assenstelsel:

$x^{2}+y^{2}=a^{2}$

Voor een punt $P$ op $G$ is $P=(a\cos \varphi ,\,a\sin \varphi )$, waarbij $\varphi$ de (veranderlijke) hoek is tussen de positieve $x$-as en het lijnstuk $PO$ (met $0\leq \varphi <360^{\circ }$).

Wordt op $G$ de verticale vermenigvuldiging $V_{x}$ toegepast met factor $b/a$ (hier is $b<a$), dan geldt voor $P'=V_{x}(P)$:

$P'=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi )=(x_{n},y_{n})$ of ook: $x_{n}=a\cos \varphi ,\,y_{n}=b\sin \varphi$

Dus is:

${\frac {{x}_{n}}{a}}=\cos \varphi ,\ {\frac {{y}_{n}}{b}}=\sin \varphi$

Kwadrateren geeft nu de relatie:

${{({\frac {{x}_{n}}{a}})}^{2}}+{{({\frac {{y}_{n}}{b}})}^{2}}=1$

De meetkundige plaats van de punten $P'$ bij veranderende waarden van $\varphi$ heeft dan de vergelijking:

${\frac {{x}^{2}}{{a}^{2}}}+{\frac {{y}^{2}}{{b}^{2}}}=1$

Dit is de vergelijking van een ellips met middelpunt $O$ waarvan de lengtes van de halve assen gelijk zijn aan $a$ en $b$.

In figuur 6 is ook de cirkel $G'$, met middelpunt $O$ en straal $b$, weergegeven. Voor het snijpunt $P^{*}$ van $OP$ met $G'$ is $P^{*}=(b\cos \varphi ,\,b\sin \varphi )$.

Wordt nu op de cirkel $G'$ de horizontale vermenigvuldiging $V_{y}$ met factor $a/b$ toegepast, dan geldt voor het beeldpunt $V_{y}(P^{*})$ van $P^{*}$:

$V_{y}(P^{*})=(a\cos \varphi ,\,b\sin \varphi )=P'$

En daaruit blijkt dat de horizontale vermenigvuldiging van de cirkel $G'$ hetzelfde effect heeft als de verticale vermenigvuldiging van de cirkel $G$: in beide gevallen is dat de ellips met middelpunt $O$ en halve assen $a$ en $b$.

Uitbreiding tot $\mathbb {R} ^{3}$

fig. 7. Definitie en toepassing in $\mathbb {R} ^{3}$

De lijn $a$ moet in de driedimensionale euclidische ruimte vervangen worden door een vlak $\alpha$ om ook in die ruimte een dergelijke vermenigvuldiging met richting $r$ te kunnen definiëren: een vlakvermenigvuldiging $V$. De lijn $r$ moet daarbij het vlak $\alpha$ snijden.

De constructie van het beeldpunt $P'=V(P)$ van $P$ gaat in dit geval als volgt; zie figuur 7.

1. De lijn $p$ gaat door het punt $P$ en is evenwijdig met de lijn $r$.
2. Het punt $O_{p}$ is het snijpunt van de lijn $p$ met het vlak $\alpha$.
3. Het punt $P'$ ligt zó op de lijn $p$ dat $O_{p}{P'}=|\,k\,|\cdot O_{p}{P}$. Als $k>0$ is, dan liggen $P$ en $P'$ aan dezelfde kant van $O_{p}$; is $k<0$, dan liggen $P$ en $P'$ aan verschillende kanten van $O_{p}$ (dus aan verschillende kanten van het vlak $\alpha$).

Zie ook

• Verschalen (meetkunde)
• Homothetie (meetkunde)
• Lineaire transformatie
• Parametervergelijking
• Toegevoegde middellijnen bij een ellips
• Constructie van Rytz van toegevoegde middellijnen
• Projectie (wiskunde)

Externe links

• Math4all: Functies en grafieken, Transformaties. Via de website.
• D. Klingens (2002): Affiene afbeeldingen van het vlak op zichzelf. Via de website PandD.

Bronnen en literatuur

• P. Molenbroek: Leerboek der stereometrie. Groningen: P. Noordhoff N.V.; 8e druk, 1934, pp. 30−33.
• P. Molenbroek: Leerboek der vlakke meetkunde. Groningen: P. Noordhoff N.V.; 8e druk, 1939, pp. 429−435.
• H.S.M. Coxeter (1961): Introduction to Geometry. New York: John Wiley & Sons, Inc.; 2nd edition, 1969, pp. 247−251, pp. 288−290.
• J.C.H. Gerretsen (1969): Grondslagen van de leer der translaties en spiegelingen in de vlakke meetkunde In: Euclides, jg. 1969-1970, nr. 3; pp. 91−104.
• G. Vonk, H. Freudenthal (1971): Projectieve meetkunde. Utrecht: IOWO; tweede druk, 1975, pp. 29−38.
• M. Kindt (1993): Lessen in Projectieve Meetkunde. Utrecht: Epsilon Uitgaven; 2e druk, 1996, pp. 75−80.

Noten