Dit is een oude versie van deze pagina, bewerkt door Tfa1964(overleg | bijdragen) op 30 dec 2019 om 15:11. (→Zie ook) Deze versie kan sterk verschillen van de huidige versie van deze pagina.
de partiële afgeleide naar dan wordt de variabele als constante behandeld (de constante blijft natuurlijk constant). Hieruit volgt:
De partiële afgeleide van een functie met betrekking tot de variabele wordt op verschillende manieren aangeduid. Om het onderscheid te maken met de gewone afgeleide gebruikt men het ronde partiële-afgeleidesymbool in plaats van men noteert:
Het partiële-afgeleidesymbool werd geïntroduceerd door Adrien-Marie Legendre (1752 - 1833), raakte vervolgens op de achtergrond, maar won na de herintroductie van dit symbool door Carl Jacobi (1804 - 1851)[1] algemene aanvaarding.
Introductie
Stel dat een functie is van twee variabelen. Bijvoorbeeld,
De grafiek van deze functie definieert een oppervlak in de euclidische ruimte. Voor elk punt op dit oppervlak zijn er een oneindig aantal raaklijnen. Partiële differentiatie is de handeling om een van deze raaklijnen te kiezen en de helling daarvan vinden. Meestal zijn de interessantste lijnen de lijnen die parallel aan het -vlak en het -vlak lopen.
Om de helling van de raaklijn aan de functie op te vinden, die parallel loopt aan het -vlak, wordt de variabele als een constante behandeld. De grafiek en dit vlak worden op de afbeelding aan de rechterkant getoond. Op de afbeelding daaronder ziet men hoe de functie eruitziet in het vlak Door de afgeleide van de vergelijking te vinden, onder de veronderstelling dat constant is, vindt men dat de helling van in het punt gelijk is aan:
Door substitutie in punt vindt men dat de helling in dit punt gelijk is aan 3.
Dat wil zeggen dat de partiële afgeleide van met betrekking tot in het punt gelijk is aan 3.
Formele definitie
De precieze definitie van een partiële afgeleide van de functie naar de variabele is als volgt:
De richtingsafgeleide generaliseert dit begrip naar een willekeurige, maar vaste richting.
Hogere partiële afgeleide
De partiële afgeleiden, en van de functie zijn vaak zelf functies van en We zouden deze functies nogmaals partieel kunnen differentiëren naar en/of Hierdoor ontstaan 4 partiële afgeleiden van de 2de orde:
Volgens de stelling van Schwarz zijn de laatste twee termen gelijk aan elkaar indien , en bestaan en continu zijn. In dat geval geldt dus
Voorbeelden
Voorbeeld 1
Zij gegeven door . Dan geldt:
In feite beschouwen wordt hier de variabele als constante beschouwd en gedifferentieerd naar de variabele Op dezelfde wijze volgt:
In het tweede geval wordt beschouwd als een constante.