Benadering van een grootheid

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Onder een benadering van een grootheid verstaat men in de exacte wetenschappen een getalswaarde die voor een bepaald praktisch doel voldoende dicht in de buurt ligt van de exacte waarde van die grootheid.

Zo zal het voor een timmerman in elke praktische situatie voldoende zijn de waarde 22/7 als benadering voor het getal π te gebruiken. Naast getalswaardige benaderingen voor grootheden, worden ook benaderingen gegeven van functies en gehele probleemstellingen.

Benaderingen worden gebruikt

  • wanneer de exacte waarde niet bekend is, bijvoorbeeld bij natuurkundige grootheden;
  • wanneer de exacte waarde niet in eindig veel cijfers is uit te drukken, zoals bij het getal π;
  • om een probleem te vereenvoudigen, zonder veel aan nauwkeurigheid in te boeten; zo is de eindige-elementenmethode een methode om een complex probleem te benaderen door een eenvoudiger, hanteerbaar probleem, waarvoor een oplossing gevonden kan worden die de oplossing van het oorspronkelijke probleem voldoende benadert.

Benaderingen worden gegeven van:

  • getallen (constanten);
  • formules (door een rekenmachine)
  • functies rond een functiewaarde;
  • functies op een interval;
  • algoritmes; enz.

Getallen[bewerken]

Een eenvoudige methode voor het benaderen van getallen is het afronden op een beperkt aantal decimalen, bijvoorbeeld:
\frac{1}{3} \approx 0,333

Constanten[bewerken]

\pi \approx 3,14, maar ook \frac{22}{7} , \frac{1}{3} \sqrt{120 - 18 \sqrt{3}} benaderen \pi
lichtsnelheid c = 299.792,458 km/s ≈ 300.000 km/s
valversnelling 9 = 9,81 m/sec2 ≈ 10 m/sec2

De meeste natuurkundige constanten werden experimenteel vastgesteld en zijn aldus benaderingen van de werkelijkheid.

Opmerkingen[bewerken]

  • Zie ook repeterende breuk: 0,999 is een benadering is van 1, maar 0,9999... (met een oneindig aantal negens) is gelijk aan 1. Zo is ook 0,33333... (met oneindig veel drieën) gelijk aan 1/3.
  • Bij het afronden van getallen gelden regels: zie afronden.

Formules[bewerken]

Resultaat van het iteratief benaderen van de wortel met de methode in de tekst. De zwarte punten zijn de opeenvolgende benaderingen met de nauwkeurige begingok 6, de blauwe punten zijn de benaderingen met de slechte begingok 2. De roze lijn is \sqrt{40}.

Een rekenmachine berekent een uitkomst door hem iteratief te benaderen, zolang, tot de nauwkeurigheid buiten het bereik van de rekenmachine valt (zo'n 12 cijfers). Hier volgt als voorbeeld het berekenen van de wortel uit 40: eerste benadering = 6, iedere volgende benadering is steeds het gemiddelde van de vorige benadering en 40 gedeeld door die vorige benadering.

  • De tweede benadering wordt dus
x_2=\frac{1}{2}(6+\frac{40}{6})=6\frac 13=6{,}333...

De derde

x_3=\frac{1}{2}(x_2+\frac{40}{x_2})=6{,}32456...

Vergelijk het resultaat met:

\sqrt{40}=6{,}3245553203...

Dit is het iteratief oplossen van de wortel, iedere berekening komt dichter bij de wortel van 40. Deze iteratie is erg snel convergerend: al na een vijftal iteraties ligt de nauwkeurigheid buiten de nauwkeurigheid van een rekenmachine.

Algemener kunnen vergelijkingen benaderd numeriek opgelost worden, met bijvoorbeeld het Newton-Raphson algoritme, of de Regula Falsi.

Functies rond een getalwaarde[bewerken]

Veelgebruikte benaderingen[bewerken]

De paraxiale benadering van geometrische optica (o.a. de lenzenmakersvergelijking) steunt op volgende benaderingen:

\sin(\theta) \approx \theta
\cos(\theta) \approx 1
\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \approx \theta.

Overige veelgebruikte benaderingen:

\frac{}{}(1+x)^n \approx 1+n x

Telkens enkel geldig voor \theta of x gaande naar 0 en \theta in radialen.

Al deze afrondingen zijn gebaseerd op de taylorreeksontwikkelingen en kunnen daarmee afgeleid worden.

Taylorreeksontwikkelingen[bewerken]

Iedere functie kan benaderd worden in de buurt van een functiewaarde, volgens de taylorreeksontwikkeling

f(x) = \sum_{n=0}^{k-1} \frac{(x-x_0)^n}{n!} f^{(n)}(x_0) + R_k,

of (uitgeschreven):

f(x)\approx f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2} f''(x_0)+\frac{(x-x_0)^3}{6} f'''(x_0)+....

Het meest wordt echter de lineaire benadering gebruikt: de eerste-ordeontwikkeling, oftewel de ontwikkeling die slechts de eerste afgeleide van de functie nodig heeft.

Voorbeeld[bewerken]

Hieronder wordt f(x) = sin(x) met een taylorreeks benaderd. De zwarte kromme is de "juiste", de donkeroranje stelt de taylorbenadering voor. Van links naar rechts: lineaire benadering (eerste orde), tweede orde en derde orde benadering. Er wordt benaderd rond x=\pi/4 (in het midden van de figuur).

Eerste orde Taylorbenadering Tweede orde Taylorbenadering Derde orde Taylorbenadering

Ver weg van de functiewaarde rond welke benaderd werd verdwijnt de overeenstemming met de kromme. Hieronder de derde orde benadering, die erg afwijkt:

Derde orde Taylorbandering, maar met een groot interval

Nu is we benadering van \sin(\theta), \cos(\theta) voor x gaande naar nul aan te tonen (eerst de derde orde benadering, daarna de tweede orde benadering):

\sin(x) \approx x-1/6x^3 \approx x

\cos(x) \approx 1-1/2x^2 \approx 1

Functies in een interval[bewerken]

Splines[bewerken]

Een willekeurige kromme is te benaderen door een spline door in een interval door een aantal punten op die kromme te kiezen en dan de functiewaarden te verbinden. Zowel het kiezen van de punten als het verbinden kan op verschillende manieren gebeuren:

Kiezen punten[bewerken]

Een eerste manier is het gelijk verdelen van het interval, bijvoorbeeld we hebben het interval [0,5], dan kiezen we punten 0, 1, 2, 3, 4 en 5. Uiteraard houdt deze verdeling geen rekening met de ingewikkeldheid van een functie - plaatsen waar veel verandert krijgen evenveel punten als intervallen waar niets gebeurd.

Keuze verbinden (interpolatie)[bewerken]

De verkregen punten (functiewaarde van de hierboven geselecteerde punten) zijn lineair te verbinden (met een lijn). Ook is een kwadratische (kubische) interpolatie uit te voeren.

Voorbeeld[bewerken]

Spline weinigpunten f.png Spline weinigpunten f splines.png

Links een functie (hier f(x)=sin(x)+2*cos(x)) met een aantal punten (gelijk verdeeld over [0,5]): 1, 2, 3, 4 en 5.

Rechts de functie en de benaderingen (kromme: blauw, lineair: rood, kwadratisch: groen, kubisch: bruin). De lineaire benadering is zwak, maar de eerstegraads spline (kwadratisch) en de hogere (kubisch, ...) benaderen de kromme een stuk beter. Dit uiteraard geholpen door de erg 'brave' continue kromme.

Voor minder continue functies moeten er meer punten of een hogeregraads spline genomen worden

Fourierreeks[bewerken]

Een andere manier om een willekeurige functie in een interval te benaderen, is gebruikmaken van Fourieranalyse door de functie om te vormen tot een Fourierreeks, zijnde een oneindige som van (co-)sinusfuncties.

Voorbeeld[bewerken]

Voor benaderen van de volgende functie: De te benaderen functie, met een discontinuïteit

Bepalen van de fouriercoëfficiënten.

c_k=1/p \int_p f(x) e^{-\imath k \omega t} dt

Hieruit kunnen is de originele functie f opnieuw op te bouwen, namelijk uit een som van complexe exponentiëlen (of, equivalent, sinus en cosinus), volgens:

\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \phi_k.

Voor de benadering worden niet niet alle termen gesommeerd, maar een begrensd aantal.

Dit zijn de gevonden benaderingen, de nauwkeurigheid is oplopend: 1 term, 3 termen, 10, 50 en 150 termen. Het discontinue sprongpunt wordt maar moeilijk benaderd wordt want de functies waaruit de benadering is opgebouwd zijn continu. Dit verschijnsel wordt ook wel het Gibbs-effect genoemd.

F 1p.png F 3p.png F 10p.png F 50p.png F 150p.png

Algoritmes[bewerken]

Sommige exacte algoritmes hebben een complexiteit die dermate hoog is (m.a.w. het programma duurt enorm lang), dat er heuristische algoritmes voor bedacht zijn, algoritmes die veel sneller werken, maar niet 100% juist zijn.

Voorbeeld[bewerken]

Voor het controleren of een getal A priem is, moeten alle onderliggende getallen (tot de wortel van A) gecontroleerd worden. Er bestaan snellere algoritmes, die echter niet waterdicht zijn: de Lucas-test en de pseudo-primality test. Samen uitgevoerd werken die veel sneller dan alle onderliggende getallen aflopen en toch zijn er geen getallen gekend die in deze test een verkeerd resultaat geven.

Eindige elementen-methode[bewerken]

Voor het hoofdartikel, zie Eindige-elementenmethode

Voor complexe problemen waar geen analytische oplossing voor bestaat, kan de benadering door eindige elementen helpen. Deze manier

  • deelt het hoofdprobleem (staaf, geleider, buizenstelsel) op in honderden kleinere stukjes;
  • stelt voor ieder stukje de vergelijkingen op (bijvoorbeeld qua krachten, druk, elektrische lading);
  • lost het stelsel opgebouwd uit de vergelijkingen van de honderden stukjes op; en
  • toont de gebruiker de oplossing.

Een dergelijk programma enkel benadert. De gewenste nauwkeurigheid kan ingegeven worden (zie foto links). Uit het programma volgen enkel cijferwaarden (spanningen, ladingen, ed), die gevisualiseerd kunnen worden (zie onder).

Voorbeelden[bewerken]

Zie ook[bewerken]