Dedekind-zeta-functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Dedekind-zeta-functie van een algebraïsch getallenlichaam K, algemeen aangeduid door ζK (s), een veralgemening van de Riemann-zeta-functie. De Riemann-zeta-functiedie is een speciaal geval waarin K het lichaam van de rationale getallen Q is.

In het bijzonder kan de Dedekind-zeta-functie worden gedefinieerd als een Dirichletreeks. De Dedekind-zeta-functie heeft een Euler product-expansie, voldoet aan een functionaalvergelijking en heeft een analytische voortzetting tot een meromorfe functie op het complexe vlak C met slechts een enkelvoudige pool in s = 1. De uitgebreide Riemann-hypothese stelt dat Re(s) = 1/2 als ζK(s) = 0 en 0 < Re(s) < 1.

De Dedekind-zeta-functie is genoemd naar Richard Dedekind, die deze functie in zijn aanvulling op Johann Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie introduceerde.[1]

Definitie[bewerken]

De Dedekind-zeta-functie ζK (s) van het algebraïsch getallenlichaam K is gedefinieerd voor complexe getallen s met Re(s) > 1, door de Dirichletreeks:

\zeta_K (s) = \sum_{I \subseteq \mathcal{O}_K} \frac{1}{(N_{K/\mathbf{Q}} (I))^{s}}

waarin I als waarden de niet-nul idealen van de ring van de gehele getallen OK van K heeft, en NK/Q(I) de absolute norm van I is (die is gelijk aan de index [OK : I] van I in OK of equivalent aan de cardinaliteit van de quotientring OK / I). Deze som convergeert absoluut voor alle complexe getallen s met Re(s) > 1.

Voetnoten[bewerken]

  1. (en) Narkiewicz, 2004, §7.4.1.