Euler-karakteristiek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In wiskunde, meer bepaald in de algebraïsche topologie, een deelgebied van de topologie, en in de polyhedrale combinatoriek, is de Euler-karakteristiek (of Euler-Poincaré-karakteristiek) een topologische invariant, dat wil zeggen een getal dat de vorm of wiskundige structuur van een topologische ruimte beschrijft, ongeacht van de wijze, waarop deze ruimte is gebogen. Een Euler-karakteristiek wordt gewoonlijk aangeduid door de Griekse letter \chi (chi).

De Euler-karakteristiek werd oorspronkelijk gedefinieerd voor veelvlakken en gebruikt om verschillende stellingen over veelvlakken te bewijzen, waaronder de classificatie van Platonische lichamen. Leonhard Euler, naar wie deze karakteristiek is vernoemd, was verantwoordelijk voor veel van het vroege werk. In de moderne wiskunde ontstaat de Euler-karakteristiek vanuit de homologie en staat zij in verbinding met vele andere invarianten.

Veelvlakken[bewerken]

Convexe veelvlakken[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Formule van Euler voor veelvlakken voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Klassiek wordt de Euler-karakteristiek \chi gedefinieerd voor oppervlakken van veelvlakken volgens de formule,

\chi=H-R+V \,

waar H, R en V respectievelijk de aantallen hoekpunten (vertices), ribben en vlakken in het gegeven veelvlak zijn. Elk convex veelvlak oppervlak heeft Euler-karakteristiek

\chi = H - R + V = 2. \,\!

Dit result staat bekend als de formule van Euler voor veelvlakken. Voor een aantal veelvlakken wordt hieronder een illustratie van de Euler-karakteristiek gegeven:

Naam Afbeelding Hoekpunten
H
Ribben
R
Vlakken
V
Euler-karakteristiek:
HR + V
Viervlak Tetrahedron.png 4 6 4 2
Hexahedron of kubus Hexahedron.png 8 12 6 2
Octaëder Octahedron.png 6 12 8 2
Dodecaëder Dodecahedron.png 20 30 12 2
Icosaëder Icosahedron.png 12 30 20 2

Niet-convexe veelvlakken[bewerken]

De oppervlakken van niet-convexe veelvlakken kunnen een verschillende Euler-karakteristiek hebben:

Naam Afbeelding Hoekpunten
H
Ribben
R
Vlakken
V
Euler-karakteristiek:
HR + V
Tetrahemihexahedron Tetrahemihexahedron.png 6 12 7 1
Octahemioctahedron Octahemioctahedron.png 12 24 12 0
Cubohemioctahedron Cubohemioctahedron.png 12 24 10 −2
Groot icosaëder Great icosahedron.png 12 30 20 2

Voorbeelden[bewerken]

De Euler-karakteristiek kan gemakkelijk worden berekend voor algemene oppervlakken door een polygonisatie van het oppervlak te vinden (dat wil zeggen een beschrijving als een CW-complex) en gebruik te maken van de bovenstaande definities.

Naam Bestand Euler-karakteristiek
Interval Complete graph K2.svg 1
Cirkel Cirklo.svg 0
Eenheidsschijf Disc Plain grey.svg 1
Sfeer Sphere-wireframe.png 2
Torus
(Product van twee cirkels)
Torus illustration.png 0
Dubbele torus Double torus illustration.png -2
Drievoudige torus Triple torus illustration.png -4
Reëel projectief vlak Steiners Roman.png 1
Möbiusband MobiusStrip-01.png 0
Kleinfles KleinBottle-01.png 0
Twee sferen (niet verbonden)
(Disjuncte vereniging van twee sferen)
Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 = 4
Drie sferen (niet verbonden)
(Disjuncte vereniging van drie sferen)
Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 + 2 = 6

Elke samentrekbare ruimte (dat wil zeggen, een homotopie gelijkwaardig aan een punt) heeft een triviale homologie, wat wil zeggen dat het 0-de Betti-getal gelijk is aan 1 en de andere Betti-getallen gelijk zijn aan 0. Daarom is zijn Euler-karakteristiek gelijk aan 1. Dit geval bevat de Euclidische ruimte \mathbb{R}^n van elke dimensie, evenals de vaste eenheidsbal in elke Euclidische ruimte - het eendimensionale interval, de tweedimensionale schijf, de driedimensionale bal, enzovoorts.

De n-dimensionale sfeer heeft Betti-getal 1 in dimensies 0 en n, alle andere Betti-getallen zijn hier gelijk aan 0. Vandaar zijn Euler-karakteristiek van 1 + (-1)^n - dat wil zeggen, ofwel 0 of 2.

De n-dimensionale reële projectieve ruimte is het quotiënt van de n-sfeer en haar antipodale afbeelding. Hieruit volgt dat de Euler-karakteristiek precies de helft van die van de corresponderende sfeer is - ofwel 0 of 1.

De n-dimensionale torus is de productruimte van n cirkels. De Euler-karakteristiek is 0, door de producteigenschap.