Het galoislichaam (Nederlands) / galoisveld (Belgisch) , ook genoteerd als , is het eindige lichaam/veld van orde 16, dus met 16 elementen. Het is een uitbreiding van graad vier van het lichaam/veld met alleen de elementen 0 en 1, en de optelling modulo 2. De karakteristiek van is daarmee ook 2. De uitbreiding kan op verschillende manieren worden geconstrueerd. Dat kan onder meer op de manier waarop de complexe getallen als uitbreiding van de reële getallen worden geconstrueerd door toevoeging van een nieuw element dat voldoet aan of door de voorstelling als een lineaire ruimte met vermenigvuldiging, waarbij een algebra wordt ingevoerd.
Voeg aan een nieuw element toe dat voortbrengt. Daarmee zijn alle machten van elementen van bepaald en moeten de eerste 14 machten verschillend zijn aan 1. Dan kan het niet anders dat .
Het nieuwe element is dus een eenheidswortel. Omdat voortbrenger is, kunnen de elementen en niet als lineaire combinatie van lagere machten worden uitgedrukt. bestaat uit de lineaire combinaties van en . Een element is dus van de vorm:
met , dus 0 of 1.
Merk op dat de vier coëfficiënten als een vector kunnen worden opgevat.
Het element en ook alle hogere machten moeten in de lagere machten van kunnen worden uitgedrukt
Dat betekent dat een wortel is van een irreducibel polynoom
In zijn drie van de 16 vierdegraadspolynomen irreducibel, namelijk
want het zijn geen kwadraten en er is geen nulpunt.
Als reducerende vergelijking komen dus in aanmerking:
- Met
Noem de voortbrenger . De reducerende vergelijking is
In berekeningen wordt steeds gelijkgesteld aan . Zo is bijvoorbeeld:
De met zijn ook voortbrengers.
Verder
de wortels zijn voortbrengers.
De andere voortbrengers zijn wortels van
Als voorbeeld nog de berekening
-
- Met
Noem de voortbrenger . De reducerende vergelijking is
Verder
de wortels zijn voortbrengers.
Omdat in de voorstelling met :
volgt dat:
- Met
is ook een lichaam.
De reducerende vergelijking is
Er geldt
Het element is geen voortbrenger, maar wel.
dus
Toevoegen van , dus van , is hetzelfde als toevoegen van .
Verder
Verder geldt:
kan ook worden voorgesteld als een vierdimensionale lineaire ruimte met een vermenigvuldiging over en met de optelling modulo 2 en de vermenigvuldiging bepaald door:
Dan is
Noemt men
dan komt de laatste regel voor de vermenigvuldiging op de reductie neer:
en is ieder element weer een lineaire combinatie van de vorm
De voorbeeldberekening gaat op dezelfde manier als de berekening in de binaire representatie.
De vectoren in de tweede representatie kunnen ook als nibbles worden gezien met als optelling de operatie exclusieve disjunctie XOR en 0001 = 1. De vermenigvuldiging met 0010 is een linksverschuiving. Overflow resulteert in bijtellen van 0011.
De voorbeeldberekening verloopt als volgt:
Een vierde mogelijke representatie van is met polynomen over als elementen. Een element heeft dan de vorm:
met , dus 0 of 1. Optellen modulo 2 en vermenigvuldigen gaan op de gebruikelijke manier. Het identieke polynoom is dan een voortbrenger. Het is ook nu weer de vraag hoe moet worden gereduceerd. is ook hier een van de mogelijkheden, wat betekent dat modulo wordt gerekend. Het identieke polynoom komt overeen met het nieuwe element in de eerste representatie.
Deze voorstelling is in wezen gelijk aan de constructie van de factorring .
De voorbeeldberekening vertoont veel overeenkomsten met het eerste geval:
-
Volgens een stelling is het lichaam/veld alleen dan een deellichaam als door kan worden gedeeld.
Dus is geen deellichaam van .
De multiplicatieve groep is cyclisch. Noem een voortbrenger
De reducerende vergelijking is:
met
Het lichaam/veld is wel een deellichaam van
met
verband met
Twee voortbrengers van
is een deellichaam van , maar niet van .