Machtassociativiteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra is machtassociativiteit een zwakke vorm van associativiteit.

Van een algebra (of meer algemeen een magma) zegt men dat deze machts-associatief is als de deelalgebra, die door enig element gegenereerd wordt associatief is.

Concreet betekent dit dat als een element x een aantal keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd het niet uitmaakt in welke volgorde de vermenigvuldigen worden uitgevoerd, zodat bijvoorbeeld geldt dat

x(x(xx)) = (x(xx))x = (xx)(xx).

Dit is een sterker resultaat dan alleen te zeggen dat

(xx)x = x(xx) \qquad\mbox{voor alle}\qquad x.

Elke associatieve algebra is duidelijk machts-associatief. Alle andere alternatieve algebra's (zoals de octonionen, die niet-associatief zijn) en zelfs sommige niet-alternatieve algebra's zoals de sedenionen zijn ook machts-associatief.

Machtsverheffen tot de macht van elk natuurlijk getal ongelijk aan nul kan consistent worden gedefinieerd, wanneer vermenigvuldiging machts-asociatief is. Er is bijvoorbeeld geen ambiguïteit of x3 gedefinieerd kan worden als

(xx)x  \qquad\mbox{of als,}\qquad x(xx) ,

aangezien deze twee uitdrukkingen aan elkaar gelijk zijn.

Machtsverheffen tot de macht nul kan ook worden gedefinieerd als de operatie een identiteitselement heeft, waardoor het bestaan van identiteitselementen nuttig wordt in machts-associatieve contexten.

Er geldt een leuke vervangingswet voor reële machts-associatieve algebra's met eenheid, die er op neer komt dat vermenigvuldiging van polynomen werkt zoals verwacht. Stel dat f een reële polynoom in x is, en definieer voor enige a in zo'n algebra f(a) als het element van deze algebra dat resulteert van de voor de hand liggende vervanging van a in f. Dan hebben we voor elke van twee zulke polynomen f en g

(fg) (a) = f(a)g(a) .

Referenties[bewerken]

  • R.D. Schafer, An introduction to non-associative algebras (Een introductie tot niet-associatieve algebra's), Dover, 1995, ISBN 0-486-68813-5. Chap.V, pp.128-148.