Raaklijn

De zwarte lijnen vormen een benadering van de blauwe raaklijn

De raaklijn, tangens of tangent aan een kromme in een punt van de kromme is in de meetkunde de rechte lijn door dat punt met dezelfde richting als de kromme. Het punt waarin de raaklijn de kromme raakt, heet raakpunt. De raaklijn is de benadering van de kromme in het raakpunt door een rechte lijn. De raaklijn kan de kromme eventueel nog snijden in een ander punt dan het raakpunt.

De raaklijn (L) in een punt P van de kromme kan gezien worden als het limietgeval van de lijn door P en een ander punt Q van de kromme als het punt Q het raakpunt P nadert. Daaruit ziet men ook dat niet in elk punt van een willekeurige kromme een raaklijn bestaat. De kromme zal aan bepaalde eisen van differentieerbaarheid moeten voldoen.

Specifiek geval in 2D

Heel algemeen kan een kromme in het platte vlak gegeven worden door de coördinaatfuncties x(t) en y(t), waarbij de parameter t een bepaalde verzameling waarden, meestal een interval, doorloopt. De raaklijn aan die kromme in een punt (x(t),y(t)) van de kromme gaat door dat punt en heeft dezelfde helling als de kromme, dus:

$\frac{y-y(t)}{x-x(t)} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \,$

mits natuurlijk de afgeleiden bestaan.

In het geval dat de kromme de grafiek is van een functie y=f(x), wordt deze formule

$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\,$,

waarin $(x_0,y_0)\,$ het raakpunt is.

Voorbeeld

De raaklijnen aan de parabool $y=x^2\,$ zijn:

$y-y_0 =2x_0(x-x_0)\,$

Zo is bijvoorbeeld de raaklijn in het punt (1,1) de lijn:

$y = 2x-1 \,$.

Afbeelding

• 

  Raaklijn (rood) aan een kromme.

• 

  Raaklijn aan een cirkel.

Algemeen geval in drie dimensies

Een kromme in drie dimensies wordt algemeen voorgesteld door een vectorfunctie van R naar R³, met als algemene parametervoorstelling:

$\overrightarrow P(t)=(x(t),y(t),z(t))$

De gradiënt hiervan wordt dan:

$\overrightarrow P'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))$

De raaklijn aan de kromme in het punt $\ P_0=P(t_0)$ wordt dan beschreven door:

$\overrightarrow P(t)= \overrightarrow P_0+\overrightarrow P'(t_0)\cdot t$

Of expliciet, met $x_0=x(t_0), y_0=y(t_0), z_0=z(t_0)$:

$\,X(t)=x_0+x'(t_0)\cdot t$

$\,Y(t)=y_0+y'(t_0)\cdot t$

$\,Z(t)=z_0+z'(t_0)\cdot t$

Toepassing van deze algemene formule op de kromme $P(t)=(x,y(x))$ levert:

$\,x(t)=t$,

en dus

$\,X(t)=x_0+t$,

$\,Y(t)=y_0+y'(x_0)\cdot t=y_0+y'(x_0)\cdot (X(t)-x_0)$

Zo vinden we dus als speciaal geval van de algemene formule de bekende formule terug voor de raaklijn aan de grafiek van een functie.