Regelmatig twaalfvlak

Dodecaëder; Twaalfvlak
Type	platonisch lichaam
Zijden	regelmatige vijfhoeken
Zijvlakken	12
Hoekpunten	20
Ribben	30
Zijvlakken per hoekpunt	3
Ribben per zijvlak	5
Duaal veelvlak	icosaëder
	Opengesneden twaalfvlak
De vijf regelmatige veelvlakken of platonische lichamen zijn: viervlak · kubus · regelmatig achtvlak · regelmatig twaalfvlak · regelmatig twintigvlak

Een dodecaëder, of regelmatig twaalfvlak, is een ruimtelijke figuur met 12 vijfhoekige vlakken, 20 hoekpunten en 30 ribben. Het is een van de vijf regelmatige veelvlakken in drie dimensies (ook platonische lichamen genoemd). Het heeft icosahedrale symmetrie.

Aantal ribben en hoekpunten

De dodecaëder heeft 30 ribben want in totaal zijn er 12 regelmatige vijfhoeken en elke rib van een zo’n vijfhoek vormt samen met een rib van een naastgelegen vijfhoek één rib van een dodecaëder. Het totaal aantal ribben is dus: $(5*12)/2=30$ ribben.

Hetzelfde geldt voor het aantal hoekpunten. In elke punt komen drie hoeken samen. Het aantal hoekpunten van een dodecaëder is dus: $(5*12)/3=20$ hoekpunten.

Formules

Maten van een dodecaëder met riblengte z
Inhoud	$V={\frac {z^{3}}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)$
Oppervlakte	$A=3z^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,=15z^{2}\tan {54}$
Radius van de omgeschreven bol (rakend aan de hoekpunten)	$R={\frac {z}{4}}{\sqrt {3}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$
Radius van de bol rakend aan de ribben	$r={\frac {z}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)$
Radius van de ingeschreven bol (rakend aan de vlakken)	$\rho ={\frac {z}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{10}}}$
Verhouding van de inhoud V tot de inhoud van omgeschreven bol	${\frac {V}{V_{OB}}}={\frac {\sqrt {15}}{6\pi }}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$
Hoek α tussen twee aangrenzende vlakken ≈ 116° 33′ 54″ (116,5651°)	$\cos \,\alpha =-{\frac {1}{5}}{\sqrt {5}}$
Hoek β tussen vlak en rib ≈ 121° 43′ 3″ (121,7175°)	$\cos \,\beta =-{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}$

Trivia

In de Gallo-Romeinse musea van Tongeren, Poitiers, en Lyon bevinden zich interessante dodecaëders uit de Romeinse tijd, waarvan het toenmalig gebruik onbekend blijft.
In het Rijksmuseum van Oudheden te Leiden zijn twee dodecaëders voor het publiek te aanschouwen.
Er bestaat een puzzel in de vorm van de dodecaëder, genaamd de Megaminx. Het ligt een beetje in de lijn van de Rubiks kubus, maar met ongeveer 1,01×10⁶⁸ mogelijke oplossingen.

Hypothese

Uit de antieke oudheid zijn geen geschreven bronnen bekend over de meer dan 100 pentagon-dodecaëders die zijn aangetroffen in de noordwestelijke provincies van het Romeinse rijk. In de voorbije eeuwen hebben talloze onderzoekers evenveel verschillende hypothesen geopperd over het gebruik van deze mysterieuze voorwerpen: meetinstrumenten, kalenders, dobbelstenen voor orakels, speelgoed, proefstukken voor leerling-bronsbewerkers, kandelaars...^[1]

De Romeinse pentagonale dodecaëder was mogelijk een astronomisch meetinstrument voor het vastleggen van de optimale zaaidatum van de wintergranen (wintergerst en wintertarwe). De belangrijkste aanwijzing daarvoor is het feit dat ook de icosaëder, waarvan slechts een exemplaar is gevonden, volledig past in deze hypothese. Met replica's van de dodecaëder en icosaëder kon worden aangetoond dat met beide meetinstrumenten op de dag nauwkeurig de datum kon worden vastgelegd.^[2] Anderzijds werd ook aangetoond dat een dodecaëder gebruikt kan worden om handschoenen te breien.^[3]

Het lijkt evenwel onwaarschijnlijk dat Romeinse dodecaëders echt een praktisch nut hadden. Dat ze ergens voor gebruikt kunnen worden, betekent nog niet dat ze daarvoor effectief gebruikt werden door de Romeinen. Alle bewaarde exemplaren verschillen immers van elkaar qua afmetingen en qua grootte en positie van de openingen. Waarschijnlijk waren het eerder voorwerpen uit de magische sfeer. Antieke bronnen bevestigen de magische betekenis van de dodecaëder als meetkundige vorm. In de kosmologie van Plato symboliseert de dodecaëder het universum. Uit Genève zijn ook 4de eeuwse Romeinse dodecaëdervormige dobbelstenen bekend met de tekens van de dierenriem, bedoeld om de toekomst te voorspellen. Bovendien is in Krefeld in een 4de eeuws Romeins graf van een voorname vrouw een dodecaëder gevonden die als een soort scepterkop op een benen staf gemonteerd was. Waarschijnlijk werden er aan dodecaëders en hun eigenaars dus magische krachten toegeschreven.^[4]

Galerij

Dodecaëder
Vergrote replica van een Romeinse dodecaëder in Tongeren. Het doel van dergelijke dodecaëders is onbekend. Mogelijk waren het een soort kalenders.
Romeinse dodecaëder in een museum in Poitiers.
Bronzen Romeinse dodecaëder, 1e of 2e eeuw, gevonden in de ruïnes van Aventicum, bij Avenches, Zwitserland.
Dodecaëder in de vorm van een 12-zijdige dobbelsteen zoals gebruikt in sommige (rollen)spellen

Zie ook

Literatuur

Nouwen (Robert), De Gallo-Romeinse pentagon-dodecaëder: mythe en enigma, Hasselt, 1993
Nouwen (Robert), Les dodécaèdres gallo-romains ajourés et bouletés. Histoire et problèmes, in BIAL, 106, 1994, p. 85-108

Externe links

Referenties

↑ Nouwen (Robert), De Gallo-Romeinse pentagon-dodecaëder: mythe en enigma, Hasselt, 1993
↑ Hypothese functie dodecaëder
↑ Has The Roman Dodecahedron Mystery Been Solved?
↑ Exploratorium: Dodecaëder

Zie de categorie Dodecahedra van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.

[1] Nouwen (Robert), De Gallo-Romeinse pentagon-dodecaëder: mythe en enigma, Hasselt, 1993

[2] Hypothese functie dodecaëder

[3] Has The Roman Dodecahedron Mystery Been Solved?

[4] Exploratorium: Dodecaëder

[1]

[2]

[3]

[4]