Icosahedrale symmetrie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Vooraanzicht van de bol die weergeeft, met rotatie-assen en fundamenteel domein. De verbindende grote cirkels geven aan waar bij de spiegelvlakken de bol snijden. Alle rotatieassen die niet op de rand staan aangegeven, en de aangegeven grote cirkels, zijn ook van toepassing op dezelfde plaats aan de achterkant.
Fundamenteel domein 01.svg fundamenteel domein
Wallpaper group diagram legend rotation2.svg tweevoudige rotatie-as
Wallpaper group diagram legend rotation3.svg drievoudige rotatie-as
Vijfhoek rotatie-as.svg vijfvoudige rotatie-as
De zwarte lijnen geven de spiegelvlakken aan.
de cyclus 525323

Volledige icosahedrale symmetrie (met ook wel eens icosaedrale of icosaedrische als tweede woord, al of niet met trema) is de symmetrie van onder meer het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder), het regelmatig twintigvlak (icosaëder), en de als voetbal zeer bekende afgeknotte icosaëder.[1]

Chirale icosahedrale symmetrie is de symmetrie van onder meer de stompe dodecaëder en de vijfhoekige hexacontaëder (van elk twee versies die elkaars spiegelbeeld zijn).

Het zijn twee vormen van polyhedrale symmetrie. Volledige icosahedrale symmetrie is met spiegeling en heeft symmetriegroep van orde 120. Chirale icosahedrale symmetrie is zonder spiegeling en heeft symmetriegroep van orde 60.

Beide symmetriegroepen hebben de volgende assen van rotatiesymmetrie met het volgende aantal punten waar ze het oppervlak van een convex object met icosahedrale symmetrie snijden (het aantal assen is steeds de helft):

  • 12 van orde 5. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van vijfhoeken en tienhoeken, en door hoekpunten waar 5 gelijke hoeken samenkomen.
  • 20 van orde 3. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van driehoeken en zeshoeken, en door hoekpunten waar 3 gelijke hoeken samenkomen.
  • 30 van orde 2. Ze gaan in de voorbeelden door de middens van ribben waar twee gelijke zijvlakken aan elkaar grenzen, de middens van zijvlakken die regelmatige veelhoeken met een even aantal hoeken zijn, de middens van ruiten, en hoekpunten waar vier gelijke hoeken samenkomen.

Het aantal maal de orde is steeds 60, de orde van .

De volledige versie heeft verder 15 spiegelvlakken. In termen van de orde van de gepasseerde rotatiepunten volgen de corresponderende grote cirkels de cyclus (525323), twee cycli voor een grote cirkel. Ze gaan gezamenlijk door alle rotatiepunten, en wel zovaak als de orde is. De spiegelvlakken gaan in de voorbeelden loodrecht door de middens van ribben, langs ribben en door hoekpunten. Het fundamenteel domein is de driehoek 235, 1/120 deel van het veelvlak. Het bekijken van het fundamenteel domein kan het overzichtelijker maken om figuren met een bepaalde symmetrie te onderscheiden en vergelijken.

I is algebraïsch de alternerende groep A5, de even permutaties van 5 elementen. De 20 hoekpunten van een dodecaëder kunnen namelijk, op twee manieren, over 5 groepen van 4 worden verdeeld, die elk de hoekpunten vormen van een viervlak. De elementen van corresponderen 1-op-1 met de even permutaties van de 5 tetraëders. = Ci, dus algebraïsch A5 × C2.

Veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie[bewerken | brontekst bewerken]

De twee regelmatige veelvlakken[bewerken | brontekst bewerken]

Er zijn twee regelmatige veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie:[2]

Nederlandse naam Griekse naam Afbeelding Hoekpunten per vlak Vlakken per hoekpunt (valentie) Vlakken (regelmatig) Ribben Hoekpunten Schläfli-symbool Symmetriegroep
regelmatig twaalfvlak dodecaëder Dodecahedron 5 3 12 30 20 {5, 3}
regelmatig twintigvlak icosaëder Icosahedron 3 5 20 30 12 {3, 5}

De vijf archimedische lichamen[bewerken | brontekst bewerken]

Er zijn vijf archimedische lichamen met volledige icosahedrale symmetrie. De bolvormige variant van de afgeknotte icosaëder is zeer bekend als voetbal.

Naam
(hoekpuntconfiguratie)
Afbeelding Openvouwing Vlakken Soort vlakken (regelmatig) Ribben Hoekpunten Symmetriegroep
icosidodecaëder
(3.5.3.5)
Icosidodecahedron
(Animatie)
Icosidodecahedron flat.svg 32 20 driehoeken
12 vijfhoeken
60 tussen een driehoek en een vijfhoek;
het veelvlak is quasiregelmatig, dat wil zeggen dat het ook ribbetransitief is
30
afgeknotte dodecaëder
(3.10.10)
Truncated dodecahedron
(Animatie)
Truncated dodecahedron flat.png 32 20 driehoeken
12 tienhoeken
90 (60 tussen een driehoek en een tienhoek en 30 tussen een twee tienhoeken) 60
afgeknotte icosaëder
(5.6.6)
Truncated icosahedron
(Animatie)
Truncated icosahedron flat-2.svg 32 12 vijfhoeken
20 zeshoeken
90 (60 tussen een vijfhoek en een zeshoek en 30 tussen een twee zeshoeken) 60
rombische icosidodecaëder
of kleine rombische icosidodecaëder
(3.4.5.4)
Rhombicosidodecahedron
(Animatie)
Rhombicosidodecahedron flat.png 62 20 driehoeken
30 vierkanten
12 vijfhoeken
120 (60 tussen een vierhoek en een vijfhoek en 60 tussen een driehoek en een vierkant) 60
afgeknotte icosidodecaëder
of grote rombische icosidodecaëder
(4.6.10)
Truncated icosidodecahedron
(Animatie)
Truncated icosidodecahedron flat.svg 62 30 vierkanten
20 zeshoeken
12 tienhoeken
180 (60 tussen een tienhoek en een zeshoek, 60 tussen een tienhoek en een vierkant, en 60 tussen een vierkant en een driehoek) 120

Een aanduiding als 3.5.3.5 (hoekpuntconfiguratie) geeft in volgorde aan welke regelmatige veelhoeken bij elk hoekpunt samenkomen.

De laatste, met de meeste hoekpunten, heeft de bijzonderheid dat dit aantal gelijk is aan de orde van de symmetriegroep. Er is dus geen niet-triviale isometrie die een hoekpunt op zichzelf afbeeldt. De assen en spiegelvlakken gaan dus niet door hoekpunten. Het is dan ook de enige van de vijf veelvlakken met een hoekpuntconfiguratie waarvan de cyclus in omgekeerde richting anders is.

De vijf catalanlichamen[bewerken | brontekst bewerken]

Er zijn vijf catalanlichamen met volledige icosahedrale symmetrie.

naam afbeelding archimedisch lichaam openvouwing vlakken ribben hoekpunten symmetriegroep
rombische triacontaëder Rhombictriacontahedron.svg
Animatie
icosidodecaëder Rhombictriacontahedron net.png 30 ruiten V3.5.3.5 60
het veelvlak is ribbetransitief
32
driehoekige icosaëder Triakisicosahedron.jpg
Animatie
afgeknotte dodecaëder Triakisicosahedron net.png 60 gelijkbenige driehoeken V3.10.10 90 (30 lange en 60 korte) 32
pentakische dodecaëder Pentakisdodecahedron.jpg
Animatie
afgeknotte icosaëder Pentakisdodecahedron net.png 60 gelijkbenige driehoeken V5.6.6 90 (waarvan 30 iets langer dan de andere) 32
deltaëdrische hexacontaëder Deltoidalhexecontahedron.jpg
Animatie
rombische icosidodecaëder Deltoidalhexecontahedron net.png 60 vliegers V3.4.5.4 120 (60 lange en 60 korte) 62
disdyakische triacontaëder Disdyakistriacontahedron.jpg
Animatie
afgeknotte icosidodecaëder Disdyakistriacontahedron net.png 120 bijna rechthoekige driehoeken V4.6.10 180 (60 lange, 60 middellange en 60 korte) 62

Een aanduiding als V3.5.3.5 geeft voor elke hoek van de veelhoek aan hoeveel daarvan samenkomen. De hoeken in het corresponderende bolvormige veelvlak zijn 360° gedeeld door het getal, de hoeken van de vlakke veelhoek zijn iets kleiner.

Conwayveelvlakken[bewerken | brontekst bewerken]

Geodetische en goldbergveelvlakken[bewerken | brontekst bewerken]

Constructie van {3,5+}6,0 uit {3,5+}1,0
Twintigvlak geodetisch.png
Constructie van {3,5+}3,3 uit {5+,3}1,0 via {3,5+}1,1
Twaalfvlak geodetisch.png

Geodetische veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie worden aangeduid als {3,5+}m,n met gehele getallen en , en , en (klasse I) of (klasse II). is het triangulatiegetal, gegeven door , dus respectievelijk en . Ze kunnen worden geconstrueerd als in de figuur.

{3,5+}m,0 heeft hoekpunten, ribben en zijvlakken.

{3,5+}m,m heeft hoekpunten, ribben en zijvlakken.

Bij de geodetische veelvlakken in klasse bestaat de verbindingslijn tussen twee nabije 5-valente hoekpunten uit ribben. In klasse II bevinden zich er driehoeken tussen. geeft aan met welke factor het aantal driehoeken wordt vermenigvuldigd ten opzichte van dat van het regelmatig twaalfvlak.

Er bestaan eenduidige duale versies hiervan, de goldbergveelvlakken, met vlakke zijvlakken en behoud van symmetrie.[3] Ze worden aangeduid als {5+,3}m,n.

Er geldt dus:

{5+,3}m,0 heeft zijvlakken, ribben en hoekpunten.

{5+,3}m,m heeft zijvlakken, ribben en hoekpunten.

Twee nabije vijfhoeken hebben bij de goldbergveelvlakken in klasse hun zijden naar elkaar gekeerd, en ertussen bevinden zich zeshoeken. Nabije vijfhoeken in klasse II hebben hun hoeken naar elkaar gekeerd, en er zijn langs de verbindingslijn ribben en zeshoeken, om en om.

{5+,3}1,0 is een regelmatig veelvlak en {5+,3}1,1 een archimedisch lichaam, de zeshoeken zijn dus regelmatig. Bij de overige goldbergveelvlakken zijn alle zeshoeken of een deel ervan onregelmatig: de zijden zijn wel even lang, maar de hoeken zijn niet gelijk. Zo heeft bijvoorbeeld {5+,3}2,0 zeshoeken met twee hoeken van 116,6°, die waar drie zeshoeken samenkomen, en vier van 121,7°.[4]

Uit {3,5+}m,0 wordt {3,5+}km,0 geconstrueerd volgens de eerste rij afbeeldingen. Uit {3,5+}m,m wordt dit {3,5+}km,km. Uit {5+,3}m,0 wordt {3,5+}m,m geconstrueerd door 12 vijfhoeken te verdelen in elk vijf driehoeken en zeshoeken in elk zes driehoeken, zodat er driehoeken ontstaan. Uit {5+,3}m,m ontstaat zo {3,5+}2m,0.

Hieronder volgt een tabel met geselecteerde geodetische veelvlakken en bijbehorende goldbergveelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie. De kolom Zijvlakkendriehoek geeft voor de geodetische veelvlakken de zijvlakken aan tussen drie nabije 5-valente hoekpunten. Voor de goldbergveelvlakken geven de hoekpunten van de gelijkzijdige driehoeken in de figuur de zijvlakken aan tussen (en inclusief) drie nabije vijfhoeken.

m n Klasse Hoekpunten
(geodetisch)
Zijvlakken
(goldberg)
Ribben
Zijvlakken
(geodetisch)
Hoekpunten
(goldberg)
Zijvlakken-
driehoek
Geodetisch Goldberg
Symbolen Conway Afbeelding Symbolen Conway Afbeelding
1 0 1 I 12 30 20 Subdivided triangle 01 00.svg {3,5}
{3,5+}1,0
I Icosahedron.svg {5,3}
{5+,3}1,0
GP5(1,0)
D Dodecahedron.svg
2 0 4 I 42 120 80 Subdivided triangle 02 00.svg {3,5+}2,0 uI
dcdI
Pentakis icosidodecahedron.png {5+,3}2,0
GP5(2,0)
cD Truncated rhombic triacontahedron.png
3 0 9 I 92 270 180 Subdivided triangle 03 00.svg {3,5+}3,0 xI
ktI
Conway polyhedron K6k5tI.png {5+,3}3,0
GP5(3,0)
yD
tkD
Conway polyhedron Dk6k5tI.png
4 0 16 I 162 480 320 Subdivided triangle 04 00.svg {3,5+}4,0 uuI
dccD
Conway polyhedron k6k5at5daD.png {5+,3}4,0
GP5(4,0)
c2D Conway polyhedron dk6k5at5daD.png
5 0 25 I 252 750 500 Subdivided triangle 05 00.svg {3,5+}5,0 u5I

u5I

Icosahedron subdivision5.png {5+,3}5,0
GP5(5,0)
c5D Goldberg polyhedron 5 0.png
6 0 36 I 362 1080 720 Subdivided triangle 06 00.svg {3,5+}6,0 uxI
dctkdI
Conway polyhedron kdkt5daD.png {5+,3}6,0
GP5(6,0)
cyD
ctkD
Conway polyhedron tkt5daD.png
7 0 49 I 492 1470 980 Subdivided triangle 07 00.svg {3,5+}7,0 vvI
dwrwdI
Conway dwrwD.png {5+,3}7,0
GP5(7,0)
wwD
wrwD
Goldberg polyhedron 7 0.png
8 0 64 I 642 1920 1280 Subdivided triangle 08 00.svg {3,5+}8,0 u3I
dcccdI
Conway dcccD.png {5+,3}8,0
GP5(8,0)
cccD Conway polyhedron dk6k5adk6k5at5daD.png
9 0 81 I 812 2430 1620 Subdivided triangle 09 00.svg {3,5+}9,0 xxI
ktktI
Conway ktktI.png {5+,3}9,0
GP5(9,0)
yyD
tktkD
Conway tdtdtkD.png
10 0 100 I 1002 3000 2000 Subdivided triangle 10 00.svg {3,5+}10,0 uu5I

uu5I

10-subdivided icosahedron.png {5+,3}10,0
GP5(10,0)
cc5D Goldberg polyhedron 10 0.png
11 0 121 I 1212 3630 2420 Subdivided triangle 11 00.svg {3,5+}11,0 u11I

u11I

11-subdivided icosahedron.png {5+,3}11,0
GP5(11,0)
c11D
12 0 144 I 1442 4320 2880 Subdivided triangle 12 00.svg {3,5+}12,0 uuxD
dcctkD
Conway dcctkD.png {5+,3}12,0
GP5(12,0)
ccyD
cctkD
Conway polyhedron dk5k6adk5k6adktI.png
13 0 169 I 1692 5070 3380 Subdivided triangle 13 00.svg {3,5+}13,0 u13I

u13I

13-subdivided icosahedron.png {5+,3}13,0
GP5(13,0)
c13D
14 0 196 I 1962 5880 3920 Subdivided triangle 14 00.svg {3,5+}14,0 uvvI
dcwwdI
Conway dcwrwdI.png {5+,3}14,0
GP5(14,0)
cwrwD Conway cwrwdI.png
15 0 225 I 2252 6750 4500 Subdivided triangle 15 00.svg {3,5+}15,0 u5xI
u5ktI
15-subdivided icosahedron.png {5+,3}15,0
GP5(15,0)
c5yD
c5tkD
Goldberg polyhedron 15 0.png
16 0 256 I 2562 7680 5120 Subdivided triangle 16 00.svg {3,5+}16,0 dc4dI Conway dccccD.png {5+,3}16,0
GP5(16,0)
ccccD Conway polyhedron dk6k5adk6k5adk6k5at5daD.png
1 1 3 II 32 90 60 Subdivided triangle 01 01.svg {3,5+}1,1 kD Conway polyhedron kD.png {5+,3}1,1
GP5(1,1)
yD
ktD
Uniform polyhedron-53-t12.png
2 2 12 II 122 360 240 Subdivided triangle 02 02.svg {3,5+}2,2 unI
=dctI
Conway polyhedron kt5daD.png {5+,3}2,2
GP5(2,2)
czD
cdkD
Conway polyhedron dkt5daD.png
3 3 27 II 272 810 540 Subdivided triangle 03 03.svg {3,5+}3,3 xnI
ktkD
Conway polyhedron kdktI.png {5+,3}3,3
GP5(3,3)
yzD
tkdkD
Conway polyhedron dkdktI.png
4 4 48 II 482 1440 960 Subdivided triangle 04 04.svg {3,5+}4,4 u2nI
dcctI
Conway polyhedron k5k6akdk5aD.png {5+,3}4,4
GP5(4,4)
c2zD
cctI
Conway polyhedron dadkt5daD.png
5 5 75 II 752 2250 1500 Subdivided triangle 05 05.svg {3,5+}5,5 u5nI Conway u5zI.png {5+,3}5,5
GP5(5,5)
c5zD Conway du5zI.png
6 6 108 II 1082 3240 2160 Subdivided triangle 06 06.svg {3,5+}6,6 uxnI
dctktI
Conway polyhedron kdkt5daD.png {5+,3}6,6
GP5(6,6)
cyzD
ctkdkD
Conway cyzD.png
7 7 147 II 1472 4410 2940 Subdivided triangle 07 07.svg {3,5+}7,7 vvnI
dwrwtI
Conway dwrwtI.png {5+,3}7,7
GP5(7,7)
wwzD
wrwdkD
Conway wrwdkD.png
8 8 192 II 1922 5760 3840 Subdivided triangle 08 08.svg {3,5+}8,8 u3nI
dccckD
Conway dccctI.png {5+,3}8,8
GP5(8,8)
c3zD
ccctI
Conway cccdkD.png
9 9 243 II 2432 7290 4860 Subdivided triangle 09 09.svg {3,5+}9,9 xxnI
ktktkD
Conway ktktkdI.png {5+,3}9,9
GP5(9,9)
yyzD
tktktI
Conway tktkdkD.png
12 12 432 II 4322 12960 8640 Subdivided triangle 12 12.svg {3,5+}12,12 uuxnI
dccdktkD
Conway dccdktkdI.png {5+,3}12,12
GP5(12,12)
ccyzD
cckttI
CctkdkD.png
14 14 588 II 5882 17640 11760 Subdivided triangle 14 14.svg {3,5+}14,14 uvvnI
dcwwkD
Conway dcwrwtI.png {5+,3}14,14
GP5(14,14)
cwwzD
cwrwtI
Conway cwwdkD.png
16 16 768 II 7682 23040 15360 Subdivided triangle 16 16.svg {3,5+}16,16 uuuunI
dcccctI
Conway dcccctI.png {5+,3}16,16
GP5(16,16)
cccczD
cccctI
Conway ccccdkD.png

Fundamenteel domein[bewerken | brontekst bewerken]

Het fundamenteel domein is de driehoek tussen nabije assen met orde 2, 3 en 5, dit is 1/120 deel van het veelvlak. Als illustratie van het bepalen van het aantal zijvlakken enz. door die in het fundamenteel domein te tellen (ook bij andere veelvlakken met volledige icosahedrale symmetrie) wordt dit hier gedaan bij de afgebeelde selectie goldbergveelvlakken.

Het fundamenteel domein bevat altijd 1/10 vijfhoek, en verder:

bij een regelmatig twaalfvlak niets, bij een afgeknotte icosaëder een vliegervormige 1/6 zeshoek, bij een ribbe-afgeknotte dodecaëder 1/4 zeshoek, bij een afgeknotte pentakisdodecaëder een vijfhoekige 1/2 zeshoek en een driehoekige 1/6 zeshoek, bij een ribbe-afgeknotte afgeknotte icosaëder een vijfhoekige 1/2 zeshoek, 1/4 zeshoek en een driehoekige 1/6 zeshoek, bij tktI vier vijfhoekige halve zeshoeken en een vliegervormige 1/6 zeshoek, bij ctkD een hele zeshoek, drie vijfhoekige halve zeshoeken, 1/4 zeshoek en een vliegervormige 1/6 zeshoek. Het hele veelvlak heeft dus steeds 12 vijfhoeken en resp. 0, 20, 30, 80, 110, 260 en 350 zeshoeken.

Op dezelfde manier kan het aantal hoekpunten bepaald worden, maar dan telt een hoekpunt wel slechts mee voor een gedeelte dat correspondeert met het aantal exemplaren van het fundamenteel domein waar het aan grenst (1, 2, 4, 6 of 10). Zo gerekend is het aantal hoekpunten in het fundamenteel domein resp. 1/6, 1/2, 2/3, 1 1/2, 2, 4 1/2 en 6, en in totaal dus resp. 20, 60, 80, 180, 240, 540 en 720. Evenzo telt bij het bepalen van het aantal ribben in het fundamenteel domein een gedeeltelijk ribbe slechts voor dat deel, en bovendien gehalveerd als deze langs de rand van het fundamenteel domein loopt. De formule van Euler voor veelvlakken kan worden gebruikt om de berekeningen te beperken of te controleren. Een en ander gaat analoog bij een andere symmetrie.

Disdyakis dihectatetracontahedron.png

Recapitulerend ter vergelijking:

Bij {5+,3}m,0 hebben twee nabije vijfhoeken hun zijden naar elkaar gekeerd, en bevinden zich er zeshoeken tussen. Het heeft 12 vijfhoeken en zeshoeken, ribben en hoekpunten.

Bij {5+,3}m,m hebben nabije vijfhoeken hun hoeken naar elkaar gekeerd, en zijn er langs de verbindingslijn ribben en zeshoeken. Het heeft 12 vijfhoeken en zeshoeken, ribben en hoekpunten.

Als bij de afgebeelde figuur met volledige icosahedrale symmetrie lijnen slechts worden opgevat als verdeling in de 120 fundamentele domeinen dan zijn er per stuk 1/10 tienhoek en 1/6 zeshoek, als het ribben zijn dan zijn er per fundamenteel domein een rode en een gele driehoek. Het hele oppervlak heeft dus respectievelijk 12 tienhoeken en 20 zeshoeken (gekromd) of 120 rode en 120 gele driehoeken. Per fundamenteel domein zijn er respectievelijk 1 en 3 ribben, dus in totaal respectievelijk 120 en 360. Per fundamenteel domein zijn er respectievelijk 3/4 en 61/60 hoekpunten, dus in totaal respectievelijk 90 en 122.

Veelvlakken met chirale icosahedrale symmetrie[bewerken | brontekst bewerken]

De twee chirale archimedische lichamen[bewerken | brontekst bewerken]

Er zijn twee archimedische lichamen met chirale icosahedrale symmetrie. Ze zijn elkaars spiegelbeeld.

Naam
(hoekpuntconfiguratie)
Afbeelding Openvouwing Vlakken Soort vlakken (regelmatig) Ribben Hoekpunten Symmetriegroep
stompe dodecaëder
of afgeknotte icosidodecaëder
(2 chirale vormen)
(3.3.3.3.5)
Snub dodecahedron (Ccw)
(Animatie)
Snub dodecahedron (Cw)
(Animatie)
Snub dodecahedron flat.svg 92 80 driehoeken
12 vijfhoeken
150 60

De twee chirale catalanlichamen[bewerken | brontekst bewerken]

Er zijn twee catalanlichamen met chirale icosahedrale symmetrie. Ze zijn elkaars spiegelbeeld. Hieronder wordt er één getoond.

naam afbeelding archimedisch lichaam openvouwing vlakken ribben hoekpunten symmetriegroep
vijfhoekige hexacontaëder Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
Animatie
stompe dodecaëder Pentagonalhexecontahedron net.png 60 vliegerachtige spiegelsymmetrische vijfhoeken met 4 gelijke hoeken V3.3.3.3.5 150 (60 lange en 90 korte) 92

Chirale conwayveelvlakken[bewerken | brontekst bewerken]

Chirale geodetische en goldbergveelvlakken[bewerken | brontekst bewerken]

Geodetische veelvlakken met chirale icosahedrale symmetrie worden aangeduid als {3,5+}m,n en {5+,3}m,n met gehele getallen , en (klasse III). Verwisselen van and geeft de gespiegelde versie. is het triangulatiegetal, gegeven door .

Er bestaan eenduidige duale versies hiervan, de goldbergveelvlakken, met vlakke zijvlakken en behoud van symmetrie.[3] Ze worden aangeduid als {5+,3}m,n.

Bij de goldbergveelvlakken zijn alle zeshoeken of een deel ervan onregelmatig: de zijden zijn wel even lang, maar de hoeken zijn niet gelijk.

Hieronder volgt een tabel met geselecteerde geodetische veelvlakken en bijbehorende goldbergveelvlakken met chiralee icosahedrale symmetrie, met van enantiomorfe paren steeds maar een van de twee, met . De kolom Zijvlakkendriehoek geeft voor de geodetische veelvlakken de zijvlakken aan tussen drie nabije 5-valente hoekpunten. Voor de goldbergveelvlakken geven de hoekpunten van de gelijkzijdige driehoeken in de figuur de zijvlakken aan tussen (en inclusief) drie nabije vijfhoeken.

m n Klasse Hoekpunten
(geodetisch)
Zijvlakken
(goldberg)
Ribben
Zijvlakken
(geodetisch)
Hoekpunten
(goldberg)
Zijvlakken-
driehoek
Geodetisch Goldberg
Symbolen Conway Afbeelding Symbolen Conway Afbeelding
2 1 7 III 72 210 140 Subdivided triangle 02 01.svg {3,5+}2,1 vI
dwD
Conway polyhedron K5sI.png {5+,3}2,1
GP5(2,1)
wD Conway polyhedron Dk5sI.png
3 1 13 III 132 390 260 Subdivided triangle 03 01.svg {3,5+}3,1 v3,1I Conway polyhedron u5I.png {5+,3}3,1
GP5(3,1)
w3,1D Goldberg polyhedron 3 1.png
3 2 19 III 192 570 380 Subdivided triangle 03 02.svg {3,5+}3,2 v3I Geodesic polyhedron 3 2.png {5+,3}3,2
GP5(3,2)
w3D Goldberg polyhedron 3 2.png
4 1 21 III 212 630 420 Subdivided triangle 04 01.svg {3,5+}4,1 dwtI Conway polyhedron K5k6st.png {5+,3}4,1
GP5(4,1)
wkI Conway polyhedron Dk5k6st.png
4 2 28 III 282 840 560 Subdivided triangle 04 02.svg {3,5+}4,2 vnI
dwtI
Conway polyhedron dcwdI.png {5+,3}4,2
GP5(4,2)
wdkD Conway polyhedron dk6k5adk5sD.png
4 3 37 III 372 1110 740 Subdivided triangle 04 03.svg {3,5+}4,3 v4I {5+,3}4,3
GP5(4,3)
w4D Goldberg polyhedron 4 3.png
5 1 31 III 312 930 620 Subdivided triangle 05 01.svg {3,5+}5,1 u5,1I {5+,3}5,1
GP5(5,1)
w5,1D Goldberg polyhedron 5 1.png
5 2 39 III 392 1170 780 Subdivided triangle 05 02.svg {3,5+}5,1 u5,1I Geodesic polyhedron 5 2.png {5+,3}5,1
GP5(5,1)
w5,1D Goldberg polyhedron 5 2.png
5 3 49 III 492 1470 980 Subdivided triangle 05 03.svg {3,5+}5,3 vvI
dwwD
Conway dwwD.png {5+,3}5,3
GP5(5,3)
wwD Goldberg polyhedron 5 3.png
6 2 52 III 522 1560 1040 Subdivided triangle 06 02.svg {3,5+}6,2 v3,1uI Geodesic polyhedron 6 2.png {5+,3}6,2
GP5(6,3)
w3,1cD Goldberg polyhedron 6 2.png
6 3 63 III 632 1890 1260 Subdivided triangle 06 03.svg {3,5+}6,3 vxI
dwdktI
Conway polyhedron dtkwdI.png {5+,3}6,3
GP5(6,3)
wyD
wtkD
Conway polyhedron tkwD.png
8 2 84 III 842 2520 1680 Subdivided triangle 08 02.svg {3,5+}8,2 vunI
dwctI
{5+,3}8,2
GP5(8,2)
wczD
wcdkD
Conway dkcwD.png
8 4 112 III 1122 3360 2240 Subdivided triangle 08 04.svg {3,5+}8,4 vuuI
dwccD
{5+,3}8,4
GP5(8,4)
wccD Conway ccwD.png
11 2 147 III 1472 4410 2940 Subdivided triangle 11 02.svg {3,5+}11,2 vvnI
dwwtI
{5+,3}11,2
GP5(11,2)
wwzD Conway dkwwD.png
12 3 189 III 1892 5670 3780 Subdivided triangle 12 03.svg {3,5+}12,3 vxnI
dwtktktI
{5+,3}12,3
GP5(12,3)
wyzD
wtktI
Conway wtkdkD.png
10 6 196 III 1962 5880 3920 Subdivided triangle 10 06.svg {3,5+}10,6 vvuI
dwwcD
{5+,3}10,6
GP5(10,6)
wwcD Conway cwwD.png
12 6 252 III 2522 7560 5040 Subdivided triangle 12 06.svg {3,5+}12,6 vxuI
dwdktcI
{5+,3}12,6
GP5(12,6)
cywD
wctkD
Conway ctkwD.png
16 4 336 III 3362 10080 6720 Subdivided triangle 16 04.svg {3,5+}16,4 vuunI
dwdckD
{5+,3}16,4
GP5(16,4)
wcczD
wcctI
Conway ccwdkD.png
14 7 343 III 3432 10290 6860 Subdivided triangle 14 07.svg {3,5+}14,7 vvvI
dwrwwD
{5+,3}14,7
GP5(14,7)
wwwD
wrwwD
Conway wrwwD.png
15 9 441 III 4412 13230 8820 Subdivided triangle 15 09.svg {3,5+}15,9 vvxI
dwwtkD
{5+,3}15,9
GP5(15,9)
wwxD
wwtkD
Conway dkwdkwD.png
16 8 448 III 4482 13440 8960 Subdivided triangle 16 08.svg {3,5+}16,8 vuuuI
dwcccD
{5+,3}16,8
GP5(16,8)
wcccD Conway cccwD.png
18 1 343 III 3432 10290 6860 {3,5+}18,1 vvvI
dwwwD
{5+,3}18,1
GP5(18,1)
wwwD Conway wwwD.png
18 9 567 III 5672 17010 11340 {3,5+}18,9 vxxI
dwtktkD
{5+,3}18,9
GP5(18,9)
wyyD
wtktkD
Conway tktkwD.png
20 12 784 III 7842 23520 15680 {3,5+}20,12 vvuuI
dwwccD
{5+,3}20,12
GP5(20,12)
wwccD Conway cwcwD.png
20 17 1029 III 10292 30870 20580 {3,5+}20,17 vvvnI
dwwwtI
{5+,3}20,17
GP5(20,17)
wwwzD
wwwdkD
Conway wwwdkD.png
28 7 1029 III 10292 30870 20580 {3,5+}28,7 vvvnI
dwrwwdkD
{5+,3}28,7
GP5(28,7)
wwwzD
wrwwdkD
Conway wrwwdkD.png

Constructie[bewerken | brontekst bewerken]

Een object met volledige icosahedrale symmetrie kan met behoud van symmetrie gewijzigd worden door op de 12 plaatsen waar de assen van orde 5 het oppervlak snijden dezelfde wijziging aan te brengen met plaatselijk behoud van de rotatie- en spiegelsymmetrie, bijvoorbeeld door een vijfhoekig zijvlak te vervangen door een samenstel van vijf driehoeken (zie ook geodetische bol), of door de ribben van het zijvlak af te knotten, of door een hoekpunt waar vijf driehoeken samenkomen af te knotten.

Uiteraard hoeft het object geen veelvlak te zijn, het oppervlak kan ook gekromd zijn. Veel variatie is ook mogelijk door beschildering, met behoud van de symmetrie. Iedere invulling is mogelijk van het fundamenteel domein, dat bestaat uit een 3D-sector tussen drie assen.