Hyperkubus

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Kubus
De projectie van een tesseract
De projectie van een vierdimensionale hyperkubus, roterend om het vlak dat de figuur verdeelt van links-voor naar rechts-achter en van boven naar beneden.

Een hyperkubus is een figuur in de meetkunde of een voorwerp in het algemeen in dimensies dat het analogon is van een tweedimensionaal vierkant () en een driedimensionale kubus (). Een tesseract is een hyperkubus van de dimensie 4.

Een hyperkubus is een gesloten, compact en convex ruimtelijk figuur, dat uit tegenover elkaar liggende evenwijdige lijnstukken bestaat. Deze lijnstukken liggen in alle dimensies die de hyperkubus inneemt. Alle hoeken tussen deze lijnstukken zijn ten opzichte van elkaar altijd recht. Een punt is een hyperkubus waarbij . Zo kennen we ook de lijn (), het vierkant () en de kubus ().

Dimoffree.svg

Een -dimensionale hyperkubus wordt ook -kubus genoemd. Coxeter noemde het ook een meetpolytoop, maar dat is achterhaald. De hyperkubus is het speciale geval van een hyperrechthoek, ook orthotoop genoemd.

Een eenheidshyperkubus is een hyperkubus waarvan de zijden alle een lengte 1 hebben. Ook de hyperkubus waarvan de hoekpunten de punten in met coördinaten gelijk aan 0 of 1 zijn, wordt met eenheidshyperkubus aangeduid.

Een punt is een hyperkubus met dimensie 0. Als men dit punt 1 eenheidslengtemaat beweegt, wordt er een lijnstuk uitgezet, die een eenheidshyperkubus van dimensie 1 is. Als men dit lijnstuk op zijn beurt in een richting beweegt die loodrecht op de lijn staat, wordt er een tweedimensionaal vlak afgebakend. Als men dit vlak vervolgens 1 eenheidslengtemaat in een richting beweegt die loodrecht op het vlak staat ontstaat er een driedimensionale kubus.

Voor het algemene geval is de Minkowski som gedefinieerd. Een d-dimensionale hyperkubus is de Minkowski som van, wordt opgespannen door d, onderling loodrechte lijnstukken met een lengte die gelijk is aan de eenheids-lengtemaat.

Gebruik[bewerken]

Het is een techniek die in supercomputers wordt gebruikt, om de met elkaar communicerende processors zo met elkaar te verbinden, dat zij op de hoekpunten van een hyperkubus liggen.

Gerelateerde categorieën van polytopen[bewerken]

De hyperkubussen zijn een van de weinige categorieën van regelmatige polytopen die in alle dimensies voorkomen.

De hyperkubus, zonder verdere aanduiding, is de eerste van drie categorieën regelmatige polytopen, door Coxeter aangeduid als γn. De andere twee zijn de duale hyperkubussen, de kruispolytopen, aangeduid als βn en de simplices, aangeduid met αn.

De oneindige betegeling van hyperkubussen duidde hij aan met δn.

Een andere gerelateerde categorie van semireguliere en uniforme polytopen zijn de demihyperkubussen, die uit hyperkubussen worden geconstrueerd met alternerend verwijderde hoekpunten en simplex-facetten voor het opvullen van de gaten, aangeduid als n.