Het inwendig product (ook wel inproduct of scalair product genoemd) van twee vectoren is een scalair (dus het levert een getal op). Het is een begrip uit de lineaire algebra, maar ook in andere takken van de wiskunde wordt hier veel gebruik van gemaakt. De bekendste vorm komt uit de euclidische meetkunde en is voor de vectoren en gedefinieerd als:
waarin de hoek tussen de vectoren is en en respectievelijk de normen van de vectoren en zijn.
Men noteert het inproduct ook als:
Voor de bovenstaande definitie is het nodig de hoek tussen de beide vectoren te kennen, of meer nog dat in de gebruikte meetkunde al een begrip hoek bestaat.
Daarna kan dan de hoek tussen de beide vectoren gedefinieerd worden met behulp van dit inproduct en de norm van de vectoren.
Eigenschappen
De vectoren en staan loodrecht op elkaar, dan en slechts dan als hun inproduct gelijk is aan 0.
Het inwendig product van vectoren uit een reële vectorruimte is commutatief:
Het begrip inwendig product is ook gegeneraliseerd. Daarbij spreekt men naar analogie van het bovenstaande van "loodrecht" of "orthogonaal" als het inproduct gelijk is aan 0. Het gegeneraliseerde inproduct is echter niet meer noodzakelijk commutatief.
Een inwendig product of inproduct op een complexevectorruimte is een hermitische positief definiete sesquilineaire vorm . Dat wil zeggen dat voor en aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:
waarin een positief-definiete matrix is. Omdat iedere positief-definiete matrix geschreven kan worden als met een inverteerbare matrix, en omgekeerd voor een willekeurige inverteerbare matrix de matrix positief definiet is, geldt ook:
De matrix is voor een gegeven niet uniek bepaald, want de matrix met een orthogonale matrix geeft dezelfde .
Er geldt dus ook:
met de gewone norm.
Voorbeelden
De volgende bewerkingen zijn inwendige producten:
in :
waarin een vector van positieve gewichtsfactoren is;
Afhankelijk van de keuze van de vectorruimte van functies, is het positief definiete karakter van dit inproduct niet altijd gegarandeerd; soms moeten equivalentieklassen beschouwd worden van functies die bijna overal aan elkaar gelijk zijn - zie ook Lp-ruimte
De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz garandeert dat het reële deel van het rechterlid tussen −1 en 1 ligt.
Equivalentie van de beide definities
In twee dimensies laat het volgende bewijs zien dat beide definities equivalent zijn. Het bewijs kan heel gemakkelijk doorgetrokken worden naar drie dimensies. Stel gegeven twee vectoren en in het vlak. Te bewijzen:
Voor de lengte van het blauwe lijnstuk in de figuur geldt volgens de stelling van Pythagoras:
Merk ook op dat deze formule aan rechterzijde niet afhankelijk is van de hoek bèta ten opzichte van het orthogonale referentieassenstelsel, noch van de oorsprong van dit assenstelsel en aan linkerzijde wel van de oorsprong van het assenstelsel.
Dus ook al zouden we ons referentieassenstelsel over een willekeurige hoek (bèta) draaien, dan blijft het inwendig product even groot:
'Vrije' vectoren hebben slechts een 'grootte' (En.: 'scalar') en een 'richting' (eventel een 'zin'), en geen bepaald aangrijpingspunt (in tegenstelling tot 'gebonden' vectoren), vandaar dat we ze steeds naar de oorsprong van het orthogonaal assenstelsel kunnen verplaatsen.
Bij een verplaatsing van de oorsprong van het orthogonale assenstelsel zou deze formule immers niet gelden.
Bovendien maakt het niet uit of je de grootte van de ene vector via de hoek alpha projecteert op de andere vector of omgekeerd:
(Gezien: )
Om dan vervolgens hun groottes met elkaar te vermenigvuldigen om het inwendig product te bekomen:
Wat maakt dat deze bewerking commutatief is in een reëlevectorruimte: