Kepler-Poinsot-lichaam

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Respectievelijk:
kleine sterdodecaëder, grote sterdodecaëder, grote icosaëder, grote dodecaëder.
Een enkel zijvlak is geel gekleurd met rode nadruk om zo de vlakken makkelijker te kunnen identificeren.

De Kepler-Poinsot-lichamen zijn de regelmatige sterveelvlakken. Elk lichaam heeft vlakken die regelmatige congruente convexe veelhoeken of regelmatige sterveelhoeken zijn. Alle lichamen hebben rond ieder hoekpunt hetzelfde aantal vlakken (vergelijk dit met de platonische lichamen).

Er zijn vier Kepler-Poinsot-lichamen:

  • Kleine sterdodecaëder (de zijvlakken zijn 12 pentagrammen, er komen er 5 bij elkaar in elk hoekpunt, er zijn dus 12×5/5=12 hoekpunten en 12×5/2=30 ribben)
  • Grote sterdodecaëder (de zijvlakken zijn 12 pentagrammen, er komen er 3 bij elkaar in elk hoekpunt, er zijn dus 12×5/3=20 hoekpunten en 12×5/2=30 ribben)
  • Grote icosaëder (de zijvlakken zijn 20 driehoeken, er komen er 5 elkaar snijdende bij elkaar in elk hoekpunt, er zijn dus 20×3/5=12 hoekpunten en 20×3/2=30 ribben)
  • Grote dodecaëder (de zijvlakken zijn 12 vijfhoeken, er komen er 5 elkaar snijdende bij elkaar in elk hoekpunt, er zijn dus 12×5/5=12 hoekpunten en 12×5/2=30 ribben)

Ze hebben alle vier de symmetriegroep Ih Het aantal ribben is steeds 30. Twee zijn de duale van de andere twee.[1]

Referenties[bewerken]

  • (en) (Artikel 1) H.S.M. Coxeter, The Nine Regular Solids (De negen regelmatige lichamen) [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), blz. 252-264, MR 8, 482]
  • (en) (Artikel 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) (Sterpolytopen en de Schläfli functie f(α,β,γ)) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) blz. 25-36]
  • (en) Lakatos, Imre; Proofs and Refutations (Bewijzen en weerleggingen), Cambridge University Press (1976) - bediscussieert het bewijs van de Euler-karakteristiek