Kepler-poinsot-lichaam

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Kepler-Poinsot-lichaam)
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Respectievelijk:
kleine sterdodecaëder, grote sterdodecaëder, grote icosaëder, grote dodecaëder.
Een enkel zijvlak is geel gekleurd met rode nadruk om zo de vlakken makkelijker te kunnen identificeren.

Kepler-poinsot-lichamen zijn de regelmatige sterveelvlakken. Elk lichaam heeft vlakken die regelmatige congruente convexe veelhoeken of regelmatige sterveelhoeken zijn. Alle lichamen hebben rond ieder hoekpunt hetzelfde aantal vlakken, vergelijk dit met de vijf regelmatige veelvlakken.

Er zijn vier kepler-poinsot-lichamen:

  • Kleine sterdodecaëder met 12 pentagrammen als zijvlak, er komen er 5 bij elkaar in elk hoekpunt: dus 12×5/5=12 hoekpunten en 12×5/2=30 ribben
  • Grote sterdodecaëder met 12 pentagrammen, 3 daarvan komen in elk hoekpunt bij elkaar: 12×5/3=20 hoekpunten en 12×5/2=30 ribben
  • Grote icosaëder, uitgaande van de kleine sterdodecaëder, de zijvlakken zijn 20 driehoeken, 5 komen in elk hoekpunt bij elkaar: dus 20×3/5=12 hoekpunten en 20×3/2=30 ribben
  • Grote dodecaëder met 12 vijfhoeken, 5 in elk hoekpunt: dus 12×5/5=12 hoekpunten en 12×5/2=30 ribben

Ze hebben alle vier de symmetriegroep Ih. Het aantal ribben is steeds 30. Ze zijn twee aan twee elkaars duale:[1] de kleine sterdodecaëder en de grote dodecaëder met Euler-karakteristiek -6 en de grote sterdodecaëder en grote icosaëder met karakteristiek 2.

Referenties[bewerken]

  • (en) (Artikel 1) H.S.M. Coxeter, The Nine Regular Solids (De negen regelmatige lichamen) [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), blz. 252-264, MR 8, 482]
  • (en) (Artikel 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) (Sterpolytopen en de Schläfli functie f(α,β,γ)) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) blz. 25-36]
  • (en) Lakatos, Imre. Proofs and Refutations (Bewijzen en weerleggingen), Cambridge University Press (1976) - bediscussieert het bewijs van de Euler-karakteristiek