Afstand (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Metriek (wiskunde))
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de wiskunde is een begrip afstand of metriek gedefinieerd als generalisatie van het gewone afstandsbegrip. Deze generalisatie is zo gekozen dat een aantal kenmerkende eigenschappen van het gewone afstandsbegrip behouden blijven.

In de differentiaalmeetkunde en relativiteitstheorie wordt het woord metriek gebruikt om te refereren aan een metrische tensor. De ruimte is daarbij in veel gevallen geen metrische ruimte, doordat een deel van de definiërende eigenschappen daar niet gelden.

Definitie[bewerken]

Een metriek of afstand op een verzameling is een afbeelding die aan de volgende axioma's voldoet.

Voor willekeurige geldt:

(niet-negativiteit).
(scheidingseigenschap).
(symmetrie).
(de driehoeksongelijkheid).

Voor twee elementen is de afstand van tot . Het axioma van symmetrie zegt dat de afstand van tot gelijk is aan de afstand van tot , zodat men eenvoudig van de afstand tussen en kan spreken. De axioma's garanderen verder dat twee verschillende elementen geen afstand 0 kunnen hebben. De driehoeksongelijkheid laat zien dat de weg over een derde punt niet korter kan zijn dan de directe weg.

Als de scheidingseigenschap wordt afgezwakt door "slechts dan" weg te laten, heet een pseudometriek. In dat geval kunnen er elementen zijn die van elkaar verschillen, maar toch een (pseudo)afstand 0 tot elkaar hebben.

Voorbeelden[bewerken]

Een belangrijk voorbeeld van een metriek op is de gewone metriek (de euclidische afstand):

,

waarbij voor :

Een speciaal geval van het bovenstaande vormen de complexe getallen met:

(de modulus van ).

Een ander voorbeeld van een metriek op is de 'Manhattan blokmetriek':

.

Deze metriek dankt zijn naam aan het tweedimensionale voorbeeld waarbij men in een stadswijk met een patroon van elkaar loodrecht kruisende straten, volgens de kortste weg van hoekpunt A naar hoekpunt B wandelt.

Discrete metriek[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie discrete metriek voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor een willekeurige verzameling is de afbeelding die elk identiek puntenpaar op 0 afbeeldt, en elk ander puntenpaar op 1, een metriek die de discrete metriek genoemd wordt. Deze metriek geeft in essentie slechts aan of twee elementen verschillend zijn of niet.

Metriek op een vectorruimte[bewerken]

Uitgaande van een norm op een genormeerde vectorruimte kan de volgende metriek worden gedefinieerd:

Deze metriek wordt de door de norm geïnduceerde metriek genoemd. Zie bijvoorbeeld (hierboven) de geïnduceerde metriek op .

Omgekeerd induceren metrieken die zowel homogeen als translatie-invariant zijn, een norm op een vectorruimte. Een metriek op een vectorruimte heet homogeen, als

,

en translatie-invariant als

.

Een dergelijke metriek induceert een norm op door de definitie

Translatie-invariante metriek[bewerken]

Meer algemeen dan hierboven behandeld is een metriek op een abelse groep translatie-invariant als die slechts afhangt van het verschil van de beide elementen. Een dergelijke metriek is geheel bepaald door de afstanden tot 0. Dit kan ook zo worden uitgedrukt dat iedere translatie een isometrie is.

Absolute waarde[bewerken]

Op een integriteitsdomein (al of niet met 1) met absolute waarde kan een translatie-invariante metriek gedefinieerd worden door de absolute waarde als afstand tot 0 te beschouwen.

P-adische norm[bewerken]

Een speciaal geval van een absolute waarde is, voor elk priemgetal , de -adische norm (geen echte norm). De bijbehorende translatie-invariante metriek is die van de -adische getallen

Ultrametriek[bewerken]

Een ultrametriek is een metriek met een sterkere driehoeksongelijkheid, namelijk

(ultrametrische ongelijkheid).

Een voorbeeld is, voor elk priemgetal , de bovengenoemde translatie-invariante metriek van de -adische getallen.

Een ander voorbeeld is de bovengenoemde discrete metriek.

Bij (onder meer) een ultrametriek heeft lengte geen duidelijke betekenis, zelfs niet in een eenvoudig eendimensionaal geval, zoals de lengte van een lijnstuk. De afstand van het begin tot het eind is dan niet te interpreteren als de lengte van een kortste route die de som is van de lengtes van delen van de route.

Ook is het zo dat als een punt ligt op een lijnstuk waarvan de uiteinden een kleine afstand tot elkaar hebben, dit niet impliceert dat een punt op het lijnstuk een kleine afstand heeft tot de uiteinden.

Equivalentie van metrieken[bewerken]

Twee metrieken en op een verzameling zijn equivalent, als er getallen bestaan zodat voor alle geldt:

en

Voorbeelden[bewerken]

In zijn de volgende metrieken equivalent:

  • De gewone metriek
  • De metriek gegeven door
  • De metriek gegeven door

Begrensde metriek[bewerken]

Een begrensde metriek is een metriek waarvoor er een bestaat zodat

Voorbeeld[bewerken]

De metriek gegeven door:

is begrensd.

Het is duidelijk dat

Opmerking bij het eerste axioma[bewerken]

Het axioma (niet-negativiteit) is strikt genomen niet nodig aangezien het van de drie andere afgeleid kan worden. Stel dat er een strikt negatieve afstand tussen twee elementen en bestaat: . Door symmetrie is ook en is door de scheidingseigenschap (ook bij pseudometrieken). We kunnen dan een driehoeksongelijkheid bouwen die absurd is: (). Een negatieve afstand is dus niet mogelijk.

Zie ook[bewerken]