Afstand (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Metriek (wiskunde))
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een begrip afstand of metriek gedefinieerd als generalisatie van het gewone afstandsbegrip. Deze generalisatie is zo gekozen dat een aantal kenmerkende eigenschappen van het gewone afstandsbegrip behouden blijven.

In de differentiaalmeetkunde en relativiteitstheorie wordt het woord metriek gebruikt om te refereren aan een metrische tensor. De ruimte is daarbij in veel gevallen geen metrische ruimte, doordat een deel van de definiërende eigenschappen daar niet gelden.

Definitie[bewerken]

Een metriek of afstand op een verzameling is een afbeelding die aan de volgende axioma's voldoet.

Voor willekeurige geldt:

(niet-negativiteit).
(scheidingseigenschap).
(symmetrie).
(de driehoeksongelijkheid).

Voor twee elementen is de afstand van tot . Het axioma van symmetrie zegt dat de afstand van tot gelijk is aan de afstand van tot , zodat men eenvoudig van de afstand tussen en kan spreken. De axioma's garanderen verder dat twee verschillende elementen geen afstand 0 kunnen hebben. De driehoeksongelijkheid laat zien dat de weg over een derde punt niet korter kan zijn dan de directe weg.

Als de scheidingseigenschap wordt afgezwakt door "slechts dan" weg te laten, heet een pseudometriek. In dat geval kunnen er elementen zijn die van elkaar verschillen, maar toch een (pseudo)afstand 0 tot elkaar hebben.

Voorbeelden[bewerken]

Een belangrijk voorbeeld van een metriek op is de gewone metriek (de euclidische afstand):

,

waarbij voor :

Een speciaal geval van het bovenstaande vormen de complexe getallen met:

(de modulus van ).

Een ander voorbeeld van een metriek op is de 'Manhattan blokmetriek':

.

Deze metriek dankt zijn naam aan het tweedimensionale voorbeeld waarbij men in een stadswijk met een patroon van elkaar loodrecht kruisende straten, volgens de kortste weg van hoekpunt A naar hoekpunt B wandelt.

Discrete metriek[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie discrete metriek voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor een willekeurige verzameling is de afbeelding die elk identiek puntenpaar op 0 afbeeldt, en elk ander puntenpaar op 1, een metriek die de discrete metriek genoemd wordt. Deze metriek geeft in essentie slechts aan of twee elementen verschillend zijn of niet.

Verband met een norm[bewerken]

De eerste twee voorbeelden hierboven hebben gemeen dat de verzameling telkens een reële of complexe vectorruimte is, waarin de afstandsfunctie geïnduceerd wordt door een of andere norm , dat wil zeggen

.

Meer algemeen is voor elke genormeerde vectorruimte de op deze wijze uit de norm afgeleide afstandsfunctie een metriek, dat wil zeggen dat deze voldoet aan de vier daarvoor geldende axioma's.

Equivalentie van metrieken[bewerken]

Twee metrieken en op een verzameling zijn equivalent, als er getallen bestaan zodat:

en

Voorbeelden[bewerken]

In zijn de volgende metrieken equivalent:

  • De gewone metriek
  • De metriek gegeven door
  • De metriek gegeven door

Begrensde metriek[bewerken]

Een begrensde metriek is een metriek waarvoor er een bestaat zodat

Voorbeeld[bewerken]

De metriek gegeven door:

is begrensd.

Het is duidelijk dat

Opmerking bij het eerste axioma[bewerken]

Het axioma (niet-negativiteit) is strikt genomen niet nodig aangezien het van de drie andere afgeleid kan worden. Stel dat er een strikt negatieve afstand tussen twee elementen en bestaat: . Door symmetrie is ook en is door de scheidingseigenschap (ook bij pseudometrieken). We kunnen dan een driehoeksongelijkheid bouwen die absurd is: (). Een negatieve afstand is dus niet mogelijk.

Zie ook[bewerken]