Kruisproduct

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Vectorprodukt)
Ga naar: navigatie, zoeken

Het kruisproduct, vectorproduct, vectorieel product, uitwendig product of uitproduct (niet te verwarren met het Engelse 'outer product', dat een tensorproduct is) is een wiskundige, binaire operatie in een driedimensionale ruimte op een koppel vectoren die als resultaat een vector, genoteerd als , geeft, bepaald door:

Het kruisproduct is een vector die loodrecht staat op de twee oorspronkelijke vectoren en . In tegenstelling tot het inwendig product, is het kruisproduct geen scalair, maar een vector.

Definitie[bewerken]

Grafische voorstelling van het kruisproduct van vectoren en . De vector staat loodrecht op en en wijst de beweging aan van een kurkentrekker die van naar gedraaid wordt.

Het kruisproduct van de vectoren en in een driedimensionale ruimte wordt gedefinieerd door de volgende 3 regels:

  1. staat loodrecht op en (richting van )
  2. , en vormen een rechtshandig assenstelsel (zin van );
  3. (grootte van ), waarin θ de hoek tussen en is.

De regels 1 en 2 houden in dat de richting (met zin) van het kruisproduct bepaald wordt door de vector naar de vector te draaien alsof men een kurkentrekker hanteert, waarna de richting van de kurkentrekker de richting van het kruisproduct bepaalt. Men noemt dit de kurkentrekkerregel. Tegenwoordig spreekt men ook wel van de rechterhandregel of pistoolgreep.

Regel 3 legt de grootte van het kruisproduct vast als gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met de vectoren en als zijden.


De formule voor het kruisproduct van en uitgedrukt in de coördinaten van en luidt:

.

Om deze formule te onthouden, schrijft men deze wel in de vorm van de onderstaande determinant, waarin , en de eenheidsvectoren langs respectievelijk de x-, y- en z-as voorstellen.

Opmerking: In de bovenstaande formule gebruiken we de determinant slechts als geheugensteun en om de berekening te vergemakkelijken. De determinant is niet een echte determinant, dat wil zeggen de determinant van een echte matrix. In principe mogen er enkel scalairen (getallen) in voorkomen, geen vectoren.

Eigenschappen[bewerken]

Meetkundig[bewerken]

  • De grootte van de vector , is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met zijden en .
  • Als en evenwijdig (parallel) zijn, is het kruisproduct . Omgekeerd volgt uit , dat en evenwijdig zijn (het is wel mogelijk dat of de nulvector voorstellen).
  • Zijn en een paar niet evenwijdige richtingsvectoren van een vlak , dan is een veelvoud van .

Algebraïsch[bewerken]

  • ,
  • ,
  • De identiteit van Jacobi:
  • Formule van Lagrange: De volgende eigenschap wordt vaak gebruikt:
De identiteit van Jacobi kan er ook mee geverifieerd worden.
  • Ook van Lagrange is de betrekking:
die weinig meer inhoudt dan dat de som van de kwadraten van sinus en cosinus gelijk is aan een.

De tweede eigenschap volgt uit de toepassing van de eerste eigenschap op . De eerste eigenschap volgt ook onmiddellijk uit de tweede op voorwaarde dat 1 + 1 ≠ 0, dat wil zeggen dat de karakteristiek van de ring verschillend is van 2.

De eerste en de derde eigenschap samen betekenen dat, voor een willekeurig lichaam (in België: veld) met willekeurige karakteristiek, de ruimte met het kruisproduct een Lie-algebra vormt.

Gebruik[bewerken]

Het kruisproduct wordt in de wiskunde vaak gebruikt om met behulp van twee gegeven vectoren, een vector te bepalen die loodrecht op de twee eerste staat (zie onder andere normaalvector).

In de mechanica wordt een kruisproduct gebruikt om een moment ten opzichte van een punt uit te rekenen: , met het moment, de kracht, en de plaatsvector. Het zijn alle drie vectoren maar uit andere vectorruimten.

Niet-tensorieel karakter[bewerken]

Het kruisproduct in blijft bewaard onder een isometrische lineaire transformatie, op het teken na: oriëntatiebewarende isometrieën (rotaties) bewaren het kruisproduct, oriëntatie-omkerende isometrieën (rotatie-inversies, bijvoorbeeld spiegelingen) veranderen het kruisproduct van twee vectoren in zijn tegengestelde.

In de tensoralgebra drukt men bovenstaande eigenaardigheid uit door te zeggen dat het kruisproduct van twee vectoren een pseudovector is.

Externe links[bewerken]