Vrije abelse groep

In de abstracte algebra en meer specifiek in de groepentheorie, is een vrije abelse groep een abelse groep, die een "basis" heeft in de zin dat elk element van de groep in een en slechts een manier als een eindige lineaire combinatie van elementen van de basis, met geheeltallige coëfficiënten geschreven kan worden. Vandaar dat vrij abelse groepen over een basis B ook wel bekendstaan als formele sommen over B. Informeel kunnen vrije abelse groepen of formele sommen ook wel worden gezien als getekende multisets met elementen in B.

Vrije abelse groepen hebben zeer mooie eigenschappen, die hen vergelijkbaar maken aan vectorruimten en die een algemene abelse groep toestaan om begrepen te worden als een quotiënt van een vrije abelse groep met "relaties". Elke vrije abelse groep heeft een rang die gedefinieerd is als de kardinaliteit van een basis. De rang bepaalt de groep op isomorfie na, en de elementen van een dergelijke groep kunnen worden geschreven als eindige formele sommen van de basiselementen. Elke deelgroep van een vrije abelse groep is zelf weer een vrije abelse groep, wat belangrijk is voor de beschrijving van een algemene abelse groep als een cokern van een homomorfisme tussen vrije abelse groepen.

Voorbeeld

Laat G bijvoorbeeld de groep zijn die de directe som $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ van twee kopieën van de oneindige cyclische groep $\mathbb {Z}$ is. Symbolisch geldt dat

$G=\{(a,b)|a,b\in \mathbb {Z} \}$.

Een basis voor deze groep is {(1,0),(0,1)}. Als we zeggen dat $e_{1}=(1,0)$ en $e_{2}=(0,1)$ dan kunnen we het element (4,3) schrijven als

$(4,3)=4e_{1}+3e_{2}$.

In deze basis is er geen andere manier om (4,3) te schrijven, maar als we ervoor kiezen dat onze basis {(1,0), (1,1)} is, waar $f_{1}=(1,0)$ en $f_{2}=(1,1)$ dan kunnen we (4,3) schrijven als

$(4,3)=f_{1}+3f_{2}$.

In tegenstelling tot vectorruimten, hebben niet alle abelse groepen een basis, vandaar de speciale naam voor die abelse groepen die wel een basis hebben. (De groep met periodieke elementen is bijvoorbeeld geen vrije abelse groep, omdat elk element op een oneindig aantal manieren kan worden uitgedrukt, eenvoudigweg door een arbitrair getal van cycli geconstrueerd uit een periodiek element in te voeren.)

De triviale abelse groep {0} wordt geacht een vrije abelse groep te zijn met als basis de lege verzameling.

Terminologie

Merk op dat een vrije abelse groep niet een vrije groep is. Hierop zijn twee uitzonderingen: een vrije abelse groep met een lege basis (rang 0, die de triviale groep geeft) of een vrije abelse groep met slechts 1 element in de basis (rang 1, wat de oneindige cyclische groep geeft). Andere abelse groepen zijn geen vrije groepen, omdat ab in vrije groepen moet verschillen van ba, indien a en b verschillende elementen van de basis zijn.

Eigenschappen

1. Voor elke verzameling B bestaat er een vrije abelse groep met basis B, en al deze vrije abelse groepen die B als basis hebben zijn isomorf. Een voorbeeld kan worden geconstrueerd als de abelse groep van functies op B, waar elke functie geheeltallige waarden accepteert, en alle maar wel een eindig aantal van deze waarden nul kan zijn. Dit is de directe som van de kopieën van $\mathbb {Z}$, één kopie voor elk element van B.
2. Als F een vrije abelse groep met basis B is, dan hebben we de volgende universele eigenschap: voor elke willekeurige functie f van B naar een willekeurige abelse groep A, bestaat er een uniek groepshomomorfisme van F naar A die functie f uitbreidt. Deze universele eigenschap kan ook gebruikt worden om vrije abelse groepen te definiëren.
3. Gegeven enige abelse groep A, bestaat er altijd een vrije abelse groep F en een surjectief groepshomomorfisme van F naar A. Dit volgt uit de universele eigenschap die hierboven wordt vermeld.
4. Alle vrije abelse groepen zijn torsievrij, en alle eindige gegenereerde torsievrije abelse groepen zijn vrije abelse groepen. (Hetzelfde geldt voor vlakheid, omdat een abelse groep dan en slechts dan torsie-vrij is als de abelse groep vlak is.) De additieve groep van rationale getallen Q is een (niet eindig gegenereerde) torsievrije groep die geen vrije abels groep is. De reden: Q is deelbaar, terwijl niet-nulzijnde vrije abelse groepen echter nooit deelbaar zijn.
5. Vrije abelse groepen zijn een speciaal geval van vrije modulen, aangezien abelse groepen niets meer zijn dan modulen over de ring $\mathbb {Z}$.

Belangrijk is dat elke deelgroep van een vrije abelse groep zelf ook een vrije abelse groep is. Als gevolg daarvan bestaat er voor elke abelse groep A een korte exacte rij

0 → G → F → A → 0

waar F en G vrije abelse groepen zijn. Dit betekent dat A isomorf is met de factorgroep F/G). Dit wordt een vrije resolutie van A genoemd. Bovendien zijn de vrije abelse groepen precies de projectieve objecten in de categorie van abelse groepen.

Het kan verrassend moeilijk zijn om te bepalen of een concreet gegeven groep al of niet een vrije abelse groep is. Denk bijvoorbeeld aan de Baer-Specker-groep $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$, het directe product van aftelbaar vele kopieën van $\mathbb {Z}$. Reinhold Baer bewees in 1937 dat deze groep geen vrije abelse groep is; Specker bewees in 1950 dat elke aftelbare deelgroep van $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$ een vrije abelse groep is.