Telmaat

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de telmaat een intuïtieve manier om een maat op te leggen aan een verzameling: de "grootte" van een eindige deelverzameling is het aantal elementen van deze deelverzameling. Van een oneindige deelverzameling is de telmaat ook oneindig.

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Laat een meetbare ruimte zijn met de sigma-algebra van alle deelverzamelingen van . De functie op deze meetbare ruimte, gedefinieerd door:

heet de telmaat, en is een maat op .

Daarbij is de kardinaliteit van , dus voor eindige deelverzamelingen het aantal elementen.

De telmaat maakt het mogelijk veel uitspraken over -ruimten, zoals de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, de ongelijkheid van Hölder of de ongelijkheid van Minkowski, om te zetten naar een meer bekende setting. Als en de maatruimte is met telmaat op , dan is gelijk aan (of ), met een norm gedefinieerd door

voor . Het delen van de telmaat door het aantal van elementen in geeft de discrete uniforme verdeling.

Als de verzameling van natuurlijke getallen is en de maatruimte met telmaat op , dan bestaat uit de rijen waarvoor geldt

Deze zogenaamde Lp-ruimte wordt vaak geschreven als .

De telmaat op telbare verzamelingen is ook nuttig om stellingen uit Lebesgue-integratie theorie toe te passen op rijen. Voorbeelden zijn onder andere de monotone convergentiestelling, het lemma van Fatou, de gedomineerde convergentiestelling en de stelling van Fubini.