Constante van Champernowne

Eerste 162 en een gedeeltelijke 163ste term in de kettingbreuk van de decimale constante van Champernowne

De constante van Champernowne C₁₀ is een transcendente reële wiskundige constante waarvan de decimale expansie belangrijke eigenschappen heeft. Hij heet naar zijn ontdekker de wiskundige en econoom D. G. Champernowne.

Met grondtal 10 (decimaal geschreven) ontstaat de constante door opvolgende gehele getallen:

C₁₀ = 0,12345678910111213141516...

Soortgelijke Champernowne constanten kunnen in andere getalstelsels worden gedefinieerd, bijvoorbeeld

C₂ = 0,1 10 11 100 101 110 111... _{voor grondtal 2}

C₃ = 0,1 2 10 11 12 20 21 22... _{voor grondtal 3}

Normaal

Een reeel getal x heet normaal als zijn cijfers in elk getalstelsel een uniforme verdeling kennen: alle cijfers komen even vaak voor en dus ook tweetallen en drietallen cijfers.

Als we aan reeks cijfers aangeven met [a₀,a₁,...], dan verwachten we dat in een normaal getal op grondtal 10 dat de reeksen [0], [1], [2],..., [9] ieder een gelijke kans van 1/10 hebben om voor te komen en de tweetallen [0,0], [0,1],..., [9,8], [9,9] een gelijke kans van 1/100 hebben enzovoorts.

Champernowne bewees in 1933 dat $C_{10}$ normaal is.

Kettingbreuk

De constante van Champernowne kan als een kettingbreuk geschreven worden. Kurt Mahler liet in 1937 zien dat de constante transcendent is. De kettingbreuk is oneindig omdat het niet rationaal) maar wel aperiodiek is (niet irreducibel kwadratisch).

De termen van de reeks variëren wild, met enorme termen afgewisseld door vele kleintjes. Voor grondtal 10 vindt men bijvoorbeeld

C₁₀ = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15,

4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987,

6, 1, 1, 21, 1, 9, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 83, 1, 156, 4, 58, 8, 54, ...].

Het grote getal op plaats 19 bestaat uit 166 cijfers. De volgende grote term heeft 2504 cijfers. Dit is lastig bij de berekening, maar als we de reeksontwikkeling afbreken na zo'n groot getal, hebben we al een goede benadering. Als we het getal op plaats 19 K noemen dan krijgen we bijvoorbeeld

C₁₀ – [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15] ~ –9 ×10^–190

C₁₀ – [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, K] ~ 3 ×10^–356.

Dit is een verbetering van de nauwkeurigheid van 166 ordes van grootte.

Berekening

De constante van Champernowne voor een bepaald grondtal b kan uitgedrukt worden als een oneindige reeks :

$C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=b^{n-1}}^{b^{n}-1}kb^{-n(k-(b^{n-1}-1))}}{b^{\sum _{k=0}^{n-1}k(b-1)b^{k-1}}}}.$

Deze reeks kan gebruikt worden om de constante te onderzoeken.

De eenvoudige methode waarbij de cijfers een voor een worden toegevoegd werkt op een computer langzamer dan andere, geavanceerde algorithmen.

Zie ook

• constante van Copeland–Erdős, een soortgelijke constante, gedefinieerd met priemgetallen
• constante van Liouville, een constante met bijzondere decimale weergave.

Externe links

• Weisstein, Eric W. Champernowne Constant op MathWorld, een Wolfram Web Resource op [1]
• Rij A033307 in de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.