Afstand

Afstand is een natuurkundige en wiskundige grootheid die de meetbare ruimte tussen twee niet samenvallende objecten aangeeft. Deze meetbare ruimte kan zowel tussen concrete als tussen abstracte (bijvoorbeeld wiskundige) objecten bestaan. In de dagelijkse praktijk echter, valt een af te leggen afstand meestal niet gelijk met (een verplaatsing over) een rechte lijn. Denk bijvoorbeeld aan een stad waar een automobilist een afstand moet afleggen. De afgelegde weg zal geen rechte lijn zijn, en ook kan het traject in tegengestelde richting verschillen. In dit voorbeeld is de door de automobilist afgelegde afstand het aantal keren dat een gegeven standaardmaat afgepast kan worden op de kortste mogelijke verbindingsweg. Als internationale standaardmaat voor lengtemetingen wordt in het SI-stelsel de meter gehanteerd.

Afstand in de gewone meetkunde

Afstand tussen twee punten

In de gewone euclidische meetkunde is de kortste verbindingsweg, of euclidische afstand, een rechte lijn en kan de afstand worden berekend als de wortel uit de som van de kwadraten van de verschillen tussen de coördinaten, volgens de stelling van Pythagoras.

In een tweedimensionale ruimte betekent dat voor de afstand $d$ tussen de punten $p_{1}=(x_{1},y_{1})$ en $p_{2}=(x_{2},y_{2})$

$d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$

In drie dimensies geldt hetzelfde

$d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}$

Zijn de punten $p_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ en $p_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ in de tweedimensionale ruimte gegeven in genormaliseerde barycentrische coördinaten, dan is, gebruikmakend van Conway-driehoeknotatie de afstand gegeven door

$d={\sqrt {S_{A}\cdot (x_{1}-x_{2})^{2}+S_{B}\cdot (y_{1}-y_{2})^{2}+S_{C}\cdot (z_{1}-z_{2})^{2}}}$

Afstand tussen een punt en een lijn

De afstand tussen een punt $P=(x_{p},y_{p})$ en een lijn $l$ door de punten $(x_{0},y_{0})$ en $(x_{1},y_{1})$, is:

$d(P,l)={\sqrt {(x_{p}-x_{0}-\lambda _{q}(x_{1}-x_{0}))^{2}+(y_{p}-y_{0}-\lambda _{q}(y_{1}-y_{0}))^{2}}}$

met

$\lambda _{q}={\frac {(x_{1}-x_{0})(x_{p}-x_{0})+(y_{1}-y_{0})(y_{p}-y_{0})}{(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}}$

Ligt het getal $\lambda _{q}$ tussen 0 en 1 dan bevindt het snijpunt van l en de lijn door $P$ loodrecht op $l$ zich tussen de punten $(x_{0},y_{0})$ en $(x_{1},y_{1})$.

De afstand van een punt $P=(x_{p},y_{p})$ tot de lijn $l$ met vergelijking $ux+vy+w=0$ is:

$d(P,l)={\frac {|ux_{p}+vy_{p}+w|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}$

Het getal in de noemer is de lengte van de normaalvector $(u,v)$ van $l$.

Afstand tussen een punt en een vlak

De afstand van een punt $P=(x_{p},y_{p},z_{p})$ tot het vlak $\alpha$ met vergelijking $ux+vy+wz+t=0$ is:

$d(P,\alpha )={\frac {|ux_{p}+vy_{p}+wz_{p}+t|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}$

Het getal in de noemer is de lengte van de normaalvector $(u,v,w)$ van $\alpha$.

Afstand tussen twee lijnen (in drie dimensies)

afstand tussen twee lijnen

De afstand tussen de twee lijnen is de afstand van een willekeurig punt van de eerste lijn tot het vlak door de tweede lijn evenwijdig aan de eerste.

Afstand in gekromde ruimten

In de differentiaalmeetkunde wordt de afstand tussen twee punten gemeten aan de hand van de lengte van krommen, meer bepaald: het infimum van de lengten van alle krommen die twee punten verbinden. Hiervoor wordt aangenomen dat tussen elk paar punten minstens een kromme bestaat, dus we bevinden ons in een (weg)samenhangende Riemannse variëteit.

Als een bepaalde kromme de kortste verbinding tussen twee punten legt, dan is die kromme noodzakelijk een geodeet.

Afstand tussen twee punten op een bol

De afstand tussen twee punten $P$ en $Q$ op het oppervlak van een bol, gemeten langs een grote cirkel, dus over het oppervlak van de bol, niet erdoorheen, is:

$d(P,Q)=2R\cdot \arcsin {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(\cos \beta _{Q}\cos \alpha _{Q}-\cos \beta _{P}\cos \alpha _{P})^{2}+(\cos \beta _{Q}\sin \alpha _{Q}-\cos \beta _{P}\sin \alpha _{P})^{2}+(\sin \beta _{Q}-\sin \beta _{P})^{2}}}$

hierin is $R$ de straal van de bol, $\alpha$ de hoek in het equatoriale vlak en $\beta$ de hoek loodrecht daarop, gerekend vanaf de equator.

Gerichte afstand

Soms wordt gesproken van de gerichte afstand van een punt tot een lijn (in 2D) of tot een vlak (in 3D). Deze is aan de ene zijde de gewone afstand, en aan de andere zijde het tegengestelde. Per geval moet dus gedefinieerd worden aan welke zijde de gerichte afstand de gewone afstand is.

Veralgemeningen

Veralgemeningen van het afstandsbegrip zijn onder meer:

• pseudometriek
• metriek als afstandsbegrip op verzamelingen
• metriek in de zin van een metrische tensor

Tabel met enkele afstanden in de natuur

lengte (m)	voorbeeld (orde van grootte)
10−35	kleinste lengte (Plancklengte of kwantumlengte)
10−15	diameter van proton en neutron
10−10	diameter van een atoom
10−4	dikte van papier
100	een stap
102	gemiddelde diepte van de Noordzee
104	diepte van de diepste oceanische trog
106	dikte van de dampkring (inclusief thermosfeer)
107	diameter van de aarde
108	diameter van Saturnus
109	diameter van de zon
1011	afstand van de Aarde tot de zon
1012	afstand van Saturnus tot de zon
1013	doorsnede van ons zonnestelsel (gerekend t/m Pluto)
1016	lichtjaar
1017	afstand tot de ster Sirius
1021	doorsnede van de Melkweg
1023	afmeting van sterrenstelsel 3C 236
1026	afstand tot het verst bekende object in het heelal

Verwante begrippen

• Met de distantie en similariteit worden de mate van verschil en van overeenkomst van de verschillende variabelen bedoeld, die in de multivariabele analyse worden gebruikt. De meest bekende distantie is de euclidische afstand, de meest bekende similariteit is de correlatie.
• De 'sociale afstand' is een begrip uit de sociologie.

voetnoten

· ·

Elementaire begrippen in de mechanica

· ·

Ordinatie, multidimensional scaling

WikiWoordenboek