Continue functie (analyse)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Continu (wiskunde))
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde wordt een functie continu genoemd als van originelen die bij elkaar in de buurt liggen, ook de beelden bij elkaar in de buurt liggen. Continue afbeeldingen zijn onderwerp van studie in bijvoorbeeld de analyse en de topologie.

Veel 'bekende' functies op de reële getallen, zoals voor , de e-macht, de functies sinus en cosinus, zijn continu. Ook zijn de som, het verschil en het product van twee continue functies weer continu. Er bestaan verschillende definities van het begrip continuïteit. De bekendste is de zogenaamde 'epsilon-delta'-definitie, die de bovenstaande populaire formulering precisieert.

Definitie[bewerken]

Analyse[bewerken]

Een functie heet continu in het punt , als er voor elke een is, zodanig dat voor alle punten waarvoor , die dus bij in de buurt liggen, geldt dat , wat inhoudt dat ook de beelden bij elkaar in de buurt liggen.

Een equivalente definitie is dat een functie continu is in een punt als .

De functie heet continu als deze continu is in iedere a in het domein van .

Meetkunde[bewerken]

Het begrip continuïteit uitgebreid worden naar metrische ruimten. Als en metrische ruimten zijn met respectievelijke metrieken en , en is een punt in , dan heet een functie continu in het punt als er voor elke een is, zodanig dat voor elk punt waarvoor geldt dat .

Een functie heet continu op , of kortweg continu, als de functie continu is in elk punt van .

Topologie[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie continue functie (topologie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

In de topologie heet een afbeelding van de topologische ruimte naar de topologische ruimte continu in het punt , als voor elke omgeving van er een omgeving van bestaat zodanig dat . Als continu is in elke , zegt men simpelweg dat continu is. Aangetoond kan worden dat voor metrische ruimten, die altijd ook topologische ruimten zijn, de beide begrippen van continuïteit equivalent zijn.

Voorbeelden[bewerken]

Continu.PNG

De blauwe en de rode krommen zijn continu, de groene niet (er zijn sprongpunten).

In de onderstaande figuur staan de afgeleiden van bovenstaande krommen voor zover deze bestaan. Van de rode kromme is de afgeleide in het middengedeelte gelijk aan 0.

Continue afgeleiden.PNG

Merk op dat, hoewel de rode kromme continu was, zijn eerste afgeleide niet continu is, er zijn twee sprongpunten in de afgeleide: punten waar de richtingscoëfficiënt in de kromme (zie bovenste figuur) verandert.

Intuïtie[bewerken]

Intuïtief wordt weleens aangenomen dat een functie alleen continu is indien de grafiek geen sprongen vertoont. Dit is echter niet waar. Een voorbeeld hiervan is de functie gegeven door:

Deze functie maakt duidelijk een sprong in 1 maar is continu. Dit is te verklaren doordat 1 niet in het domein van de functie ligt.

Uniforme continuïteit[bewerken]

Een functie heet uniform continu indien voor elke een bestaat, zodat voor alle geldt dat uit volgt dat .

Uniforme continuïteit is sterker dan gewone continuïteit, elke functie die uniform continu is is ook continu. Het omgekeerde geldt echter niet altijd. Beschouw weer de functie gegeven door:

Deze is continu maar niet uniform continu.

Stuksgewijze continuïteit[bewerken]

Als er een partitie van het domein van bestaat waarvoor uniform continu is in elk interval, dan is stuksgewijze continu. Dit houdt niet noodzakelijk in dat in de randpunten van de deelintervallen gedefinieerd is. Wegens de definitie van uniforme continuïteit kan men besluiten dat uitbreidbaar is in de randpunten van de deelintervallen.

Een stuksgewijze continue functie kan opgevat worden als een aaneenschakeling van continue functies in een gesloten interval.

In voorbeeld 1 hierboven is de groene functie een stuksgewijs continue functie.

Eigenschappen van continue functies[bewerken]

Bij de bewijzen van de volgende eigenschappen van continue functies is de stelling van de kleinste bovengrens nodig.

  • Elke functie die op een gesloten en begrensd interval continu is, is daar ook begrensd. De geslotenheid is hier van belang: de functie is op het interval ]0, 1] wel continu, maar niet begrensd.
  • Een functie die continu is op een bepaald interval en daar positieve en negatieve waarden aanneemt, heeft in dat interval ten minste één nulpunt. Een gevolg daarvan is:
  • Een functie die op een gesloten interval continu is en verschillende waarden aanneemt in en , neemt op dat interval elke waarde tussen en aan.
  • Een continue functie beeldt compacte verzamelingen op compacte verzamelingen af.
  • Een continue functie beeldt samenhangende verzamelingen op samenhangende verzamelingen af.
  • Een functie die differentieerbaar is in het punt , is ook continu in ; het omgekeerde geldt niet algemeen.

Bewijs voor continuïteit in geval van differentieerbaarheid[bewerken]

Stel dat de functie differentieerbaar is in . Dan is:

,

dus is continu in .