Convexe verzameling

Een convexe verzameling.

In de euclidische ruimte is een verzameling of object convex als voor ieder tweetal punten van die verzameling het rechte lijnstuk dat deze twee punten verbindt, geheel binnen de verzameling ligt. Een massieve kubus is bijvoorbeeld convex, maar alles wat hol van binnen is of waar een deuk in zit, zoals een vorm als de wassende maan, is niet convex.

In de euclidische meetkunde

Men zegt dat een verzameling $C$ in een reële of complexe vectorruimte convex is, als voor alle $x$ en $y$ in $C$ en alle $t$ in het interval [0,1], het punt

$(1-t)x+ty$

element is van $C$.

Met andere woorden: elk punt op het lijnstuk dat $x$ en $y$ verbindt ligt in $C$. Dit impliceert dat een convexe verzameling in een reële of complexe topologische vectorruimte samenhangend is.

Een verzameling $C$ wordt absoluut convex genoemd als deze verzameling zowel convex als evenwichtig is.

Een niet-convexe verzameling.

De convexe deelverzamelingen van de reële getallen $\mathbb {R}$ zijn simpelweg de intervallen in $\mathbb {R}$. Voorbeelden van convexe deelverzamelingen in het euclidische vlak zijn regelmatige veelhoeken en lichamen van constante dikte. Voorbeelden van convexe deelverzamelingen in de (driedimensionale) euclidische ruimte zijn de Archimedische- en de Platonische lichamen. De kepler-poinsot-lichamen zijn voorbeelden van niet-convexe verzamelingen.

Eigenschappen

Als $S$ een convexe deelverzameling is van $\mathbb {R} ^{n}$ en $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\in S$, dan is voor de niet-negatieve getallen $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$, met

$\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}=1$,

de lineaire combinatie

$\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}u_{k}$

element is van $S$

Een vector van dit type staat bekend als een convexe combinatie van $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$.

De doorsnede van enige collectie van convexe verzamelingen is zelf ook convex. De convexe deelverzamelingen van een (reële of complexe) vectorruimte vormt dus een complete tralie. Dit betekent ook dat enige deelverzameling $S$ van de vectorruimte zich in de kleinste convexe verzameling bevindt (het convex omhulsel van $S$), namelijk de doorsnede van alle convexe verzamelingen die $S$ bevatten.

Een functie (blauw) is convex dan en slechts dan als het gebied boven de grafiek (in het groen) een convexe verzameling is.

Gesloten convexe verzamelingen kunnen worden gekarakteriseerd als de doorsneden van gesloten half-ruimten (verzamelingen van punten in de ruimte die op en aan één kant van een hypervlak liggen). Hieruit volgt dat zulke doorsneden convex zijn, en dat zij ook gesloten verzamelingen zijn. Om het omgekeerde te bewijzen, dat wil zeggen, dat elke convexe verzameling kan worden weergegeven als zo'n doorsnede, heeft men de ondersteunende hypervlak-stelling nodig. Bij een gegeven gesloten convexe verzameling $C$ en een gegeven punt $P\not \in C$ bestaat er een gesloten half-ruimte $H$ die $C$ omvat en niet $P$ bevat. De ondersteunende hypervlak-stelling is een speciaal geval van de stelling van Hahn-Banach uit de functionaalanalyse.

Zie ook

• Convexe functie
• Concave verzameling

Externe link

• (en) Colleges over convexe verzamelingen, aantekeningen van Niels Lauritzen, Universiteit van Aarhus, maart 2009.