Deltaëder

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een deltaëder, meervoud: deltaëdra of deltaëders, in de meetkunde, is een veelvlak dat uitsluitend uit gelijkzijdige driehoeken is opgebouwd. Alle driehoeken zijn congruent. De naam deltaëder komt van de hoofdletter Δ, de delta in het Griekse alfabet, een driehoek.

Van de convexe deltaëders zijn er twee een regelmatig veelvlak. De zes andere zijn een Johnson-lichaam.

Het enige andere lichaam dat nog zowel een deltaëder is, als verder hoekpunt-, ribbe- en zijvlaktransitief, is de grote icosaëder. De grote icosaëder is niet convex.

De acht convexe deltaëdra[bewerken]

Nummer Naam Afbeelding Vlakken Ribben Knooppunten Symmetriegroep
1 Viervlak Tetrahedron.jpg 4 6 4 Td
2 Driehoekige bipiramide Triangular dipyramid.png 6 9 5 D3h
3 Octaëder Octahedron.svg 8 12 6 Oh
4 Vijfhoekige bipiramide Pentagonal dipyramid.png 10 15 7 D5h
5 Siamese dodecaëder Snub disphenoid.png 12 18 8 D2d
6 Drievoudig verhoogd driehoekig prisma Triaugmented triangular prism.png 14 21 9 D3h
7 Verlengde gedraaide vierkante bipiramide Gyroelongated square dipyramid.png 16 24 10 D4d
8 Icosaëder Icosahedron.jpg 20 30 12 Ih
Bewijs

Een deltaëder met zijvlakken heeft ribben. moet dus even zijn. is minimaal 4 en maximaal 20, omdat het aantal driehoeken dat in een hoekpunt bij elkaar komt minimaal 3 en maximaal 5 is. Behalve voor staan ze alle in de tabel hierboven. Een deltaëder met 18 zijvlakken is niet te maken.

Een dergelijke deltaëder met 18 zijvlakken zou 27 ribben en vanwege de formule van Euler voor veelvlakken 11 hoekpunten moeten hebben. Noem het aantal hoekpunten in , waarin vijf driehoeken samenkomen, het aantal hoekpunten waarin vier driehoeken samenkomen en het aantal hoekpunten waarin drie driehoeken samenkomen.

en
.

Controle door berekening geeft als enige mogelijkheid , en .

Begin om te proberen hiermee te maken in het hoekpunt waar vier driehoeken samenkomen. Daar begint de gelijke opbouw als die van een verlengde gedraaide vierkante bipiramide, totdat er aan het einde in het laatste hoekpunt vier driehoeken samenkomen in plaats van vijf, het is een verlengde gedraaide vierkante bipiramide geworden, en er hoekpunt over blijft. Dus is niet te maken.