Schoventheorie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search

De schoventheorie is een tak van de hogere wiskunde. Ze werd vanaf de jaren 1930 ontwikkeld ter ondersteuning van de cohomologie van variëteiten en vond later belangrijke toepassingen in de algebraïsche meetkunde. Centraal staat het begrip schoof, die aan de open verzamelingen van een topologische ruimte bepaalde algebraïsche structuren koppelt, bijvoorbeeld abelse groepen, ringen of modulen.

In de algebraïsche meetkunde is de onderliggende topologische ruimte een functiering met de Zariski-topologie.

Definitie[bewerken]

De volgende definitie van een (pre)schoof is voor abelse groepen. Voor andere categorieën van algebraïsche objecten zoals ringen, modulen enz. verloopt de definitie analoog, al moet telkens de juiste soort morfismen gehanteerd worden.

Een preschoof van abelse groepen bestaat uit een topologische ruimte en, voor elke open deelverzameling van een abelse groep en, voor ieder paar open verzamelingen , een groepshomomorfisme, restrictie genaamd:

zodat aan de volgende eigenschappen is voldaan:

  1. is de triviale groep
  2. is de identieke transformatie van
  3. als , dan is

De elementen van heten de secties van de schoof over

De werking van de restrictie van tot op een sectie van wordt soms genoteerd als een restrictie van een functie in de verzamelingenleer:

Een schoof is een preschoof die bovendien aan de volgende voorwaarden voldoet:

4. als een open overdekking is van een open verzameling , en heeft de eigenschap voor alle , dan is
5. als een open overdekking is van een open verzameling en we hebben elementen in voor elke die onderling compatibel zijn:

dan bestaat er een zodat telkens

Voorbeelden[bewerken]

  • Zij een willekeurige topologische ruimte. Beschouw voor elke open verzameling in de verzameling der continue, reëelwaardige functies op met de puntsgewijze optelling als abelse groepsbewerking. Neem als restrictie-homomorfisme tussen en een open deelverzameling de gewone restrictie van functies tot een deelverzameling van hun domein. Men gaat gemakkelijk na dat deze structuur aan alle vijf de voorwaarden van een schoof voldoet.
  • Zij een willekeurige topologische ruimte, en een willekeurige abelse groep. Associeer met iedere niet-lege deelverzameling van de groep zelf, en neem als restrictie-afbeelding steeds de identieke transformatie. Deze structuur voldoet aan de voorwaarden van een preschoof en heet de constante preschoof geassocieerd met op
De constante preschoof voldoet in het algemeen niet aan de laatste voorwaarde voor een schoof. Als en disjuncte open delen zijn van en en zijn verschillende elementen van dan bevat de abelse groep die met de vereniging van en geassocieerd is (een kopie van ) geen enkel element waarvan de restrictie (de identiteit) zowel als is.

Verwante begrippen[bewerken]

Staak[bewerken]

De staak van een punt van bestaat uit alle kiemen van secties over omgevingen van dat wil zeggen alle equivalentieklassen van koppels waar een omgeving is van en een sectie over Twee koppels en heten equivalent als de restricties van en tot de doorsnede van en dezelfde sectie over die doorsnede oplevert. De staak van is op natuurlijke wijze een abelse groep.

Morfisme van schoven[bewerken]

Een morfisme tussen twee schoven en op eenzelfde topologische ruimte associeert met elke open verzameling een groepshomomorfisme

op een zodanige wijze dat de samenstelling met de restrictie-morfismen "goed" verloopt:

Morfismen kunnen worden samengesteld. Het identieke morfisme associeert met elke open verzameling het identieke groepshomomorfisme. Een isomorfisme is een morfisme dat een inverse heeft.