Reeks (wiskunde)

Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen. Een reeks wordt genoteerd als een uitdrukking van de vorm

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$

Voor een gegeven ruimte waarin de optelling is gedefinieerd, zoals de reële getallen, is er aldus een eeneenduidig verband tussen de rijen termen uit die ruimte, en de reeksen.

De eventuele uitkomst $S$ van de sommatie wordt, uitgedrukt in de termen van de reeks, hetzelfde genoteerd als de reeks, dus $S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$.

Soms wordt bij een eindig aantal termen ook wel de term reeks gebruikt, bijvoorbeeld rekenkundige reeks bij de sommatie van een eindig aantal opeenvolgende elementen van een rekenkundige rij.

Het woord 'reeks' werd vroeger vaak gebruikt in situaties waarin later voor 'rij' gekozen wordt.

Definitie

Voor iedere rij $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som (uitdrukking die een som voorstelt)

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$.

De elementen van de rij zijn de termen van de reeks.

Partieelsommen

Met de rij $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ associeert men de rij $(s_{n})_{n=1}^{\infty }$ der partieelsommen of partiële sommen, met

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

Analoog hieraan wordt de limiet $S$ der partieelsommen, als deze bestaat (zie onder), op twee manieren aangeduid:

$S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

Of in een tekst de rij der partieelsommen ofwel de limietwaarde $S$ wordt bedoeld, moet uit de context blijken.

Alternatieve definitie van 'Reeks'

Een 'reeks' wordt ook wel formeel gedefinieerd als een bepaalde combinatie van een rij $(a_{n})$ en de rij $(s_{n})$ van zijn partiële sommen, bijvoorbeeld $(\,(a_{n},s_{n})\,)_{n=1}^{\infty }$.

Convergentie

Voor reeksen met termen in een gegeven metrische ruimte (met optelling), is het zinvol het bestaan van de som te onderzoeken.

Een reeks heet convergent als de rij der partieelsommen convergeert naar een eindige limiet $S$. In dat geval noemt men $S$ de som van de reeks:

$S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}a_{n}.$

Als de rij der partieelsommen convergeert, moet de rij der afzonderlijke termen $a_{n}$ convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: Een reeks waarvan de termen convergeren naar 0 kan nog steeds divergent ( = niet convergent ) zijn; zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.

Absolute convergentie

We beperken ons nu tot reeksen waarvan de termen reële getallen zijn.

Een reeks heet absoluut convergent als de absolute waarden van de termen $a_{i}\!$ op hun beurt de bouwstenen zijn van een convergente reeks.

In formulevorm: de reeks $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$ heet absoluut convergent als de reeks $\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}|$ een convergente reeks is.

Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden. Bij een convergente reeks die niet absoluut convergent is (een voorwaardelijk convergente reeks), geldt dit helemaal niet. Men kan dan door een goed gekozen herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken.

Geometrische of meetkundige reeks

De reeks voortgebracht door de machten van een getal $a$ met absolute waarde kleiner dan 1 is absoluut convergent:

$1+a+a^{2}+a^{3}+...={\frac {1}{1-a}}$

Dit is als volgt te bewijzen:

$s_{n}=1+a+a^{2}+a^{3}+\dots +a^{n},|a|<1$

$as_{n}=a+a^{2}+a^{3}+a^{4}+\dots +a^{n+1}$

$s_{n}-as_{n}=1-a^{n+1}\!$

$s_{n}(1-a)=1-a^{n+1}\!$

$s_{n}={\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}\!$

$S=\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}={\frac {1}{1-a}}$ .

Zie ook, meer algemeen, meetkundige reeks.

Harmonische reeks

De harmonische rij is in de wiskunde de rij $1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{5}},\cdots$, dus met algemene term: $a_{n}={\tfrac {1}{n}}$

Het is een van de eenvoudigste rijen met de eigenschap $a_{n}=O(1/n)$ (zie grote-O-notatie), dus de eigenschap dat $na_{n}$ begrensd is.

De bijbehorende harmonische reeks

$\sum {\frac {1}{n}}$

is divergent.

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$ is voor grote n bij benadering gelijk aan $\ln(n)$: beide gaan naar oneindig, maar het verschil heeft als limiet de constante van Euler-Mascheroni.

Hyperharmonische reeks

Een hyperharmonische reeks is een reeks van de vorm

$1+{\tfrac {1}{2^{p}}}+{\tfrac {1}{3^{p}}}+\dots +{\tfrac {1}{n^{p}}}$

waarbij $p\in \mathbb {R}$

We kunnen de volgende gevallen onderscheiden:

1. Als p=1: harmonische reeks, divergeert
2. Als p<1: hyperharmonische reeks, divergeert
3. Als p>1: hyperharmonische reeks, convergeert

Alternerende reeks

Bij een alternerende reeks wisselen de termen elke keer van teken.

De reeks $\sum {\tfrac {(-1)^{n+1}}{n}}$ is convergent, maar niet absoluut convergent:

$1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+...=\ln(2)$

Deze reeks heet alternerende harmonische reeks.

Andere typen reeksen

Andere typen reeksen zijn onder andere:

• Binomiaalreeks
• Machtreeks
• Taylorreeks

Voorbeelden

Voorbeelden van reeksen die een relatie hebben met het getal π.

Van Leonhard Euler zijn de reeksen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

en

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\left(2n+1\right)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

Van Gottfried Wilhelm von Leibniz zijn de reeksen:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\dots ={\frac {\pi }{4}}$

en

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{\left(2n+1\right)^{2}}}-{\frac {1}{\left(2n+2\right)^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{12}}$

Zie ook

• Constante van Euler
• Reeksontwikkeling

Mediabestanden

Zie de categorie Series (mathematics) van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.

Bronnen, noten en/of referenties