31-toonsverdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De 31-toonsverdeling in de muziek is de verdeling van het octaaf in 31 gelijke verhoudingen. Deze verdeling is geïntroduceerd door Christiaan Huygens, die de middentoonstemming als voorbeeld nam, maar daar het liefst een evenredige toonsverdeling van wilde maken. In een evenredige toonsverdeling kan namelijk naar believen gemoduleerd worden, zonder dat intervallen in de ene toonladder goed en in de andere anders of zelfs vals klinken.

Ontdekking[bewerken]

Huygens is waarschijnlijk op het aantal 31 gekomen door een kettingbreuk van de middentoonskwint te formuleren en van de convergenten van de kettingbreuk de meeste precieze te kiezen, die tevens nog praktisch uitvoerbaar was. Daar de middentoonskwint een verhouding heeft van \mu = \frac{1}{4} \cdot ^{2}\log(5) en de noemer van de reeks convergenten \frac{p_n}{q_n} kleiner moet zijn dan q_{n+1}, ontwikkelt de kettingbreuk zich als volgt:

\mu = \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}}}}}}}

De convergentenreeks die hieruit ontstaat, verkregen door steeds een breuk van de kettingbreuk onder de deelstreep toe te voegen, gaat dan als volgt: \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7}, \frac{7}{12}, \frac{11}{19}, \frac{18}{31}, \frac{101}{174}, \frac{119}{205}, ...

We zien hier de kwint van de evenredige 12-toonsstemming van de piano in terug, namelijk 7/12, maar het belangrijkste is het quotiënt 18/31, dat de meest precieze en nog praktisch uitvoerbare oplossing is. Een onderverdeling van 174 halve tonen in een octaaf is namelijk ondoenlijk. De 19-toonsverdeling is ook een toonschaal die net als de 31-toonsverdeling gemiddeld een reinere klank oplevert dan de 12-toonsverdeling. De 31-toonsverdeling echter heeft qua toonzuiverheid de beste eigenschappen.

Daar een octaaf een frequentieverhouding heeft van 1 : 2 (de C heeft een twee keer zo lage frequentie als de C'), hebben twee opeenvolgende halve tonen in deze toonverdeling een frequentieverhouding van 1 : \sqrt[31]{2}. We zien dan dat het Huygens formidabel is gelukt om de middentoonskwint te benaderen. In cents heeft de middentoonskwint een waarde van 1200 \cdot \frac{1}{4} \cdot ^{2}\log(5) = 696,5784...cent en de kwint van de 31-toonsverdeling een waarde van 1200\cdot^{2}\log{(\sqrt[31]{2})^{18}} = 696,7742 ..cent.

Uitwerking[bewerken]

Huygens realiseerde zijn 31-toonsstemming door middel van een monochord.

Huygens verdeelde de kam van het monochord in 100 000 gelijke eenheden. Plaats je de kam op de helft, dan hoor je een toon c en verplaats je hem vervolgens helemaal naar het eind, dan hoor je weer een toon C (een octaaf lager). Hiertussen liggen dan alle 31 tonen van de toonsverdeling.

Daar de verhouding van twee opeenvolgende tonen 1 : \sqrt[31]{2} is en Huygens wilde werken met toonverschillen berekende hij de logaritme hiervan, uitkomend op \log(\sqrt[31]{2}) = 0,0097106450. Deze groeifactor heeft hij vervolgens bij de logaritme van 50 000, zijn beginpunt (hij begon immers op de helft van de kamlengte), opgeteld. Doe je dit 31 keer, dan kom je op 4,9999999993 uit, wat tot op zeer nauwkeurig niveau bij de logaritme van 100 000, namelijk 5, uitkomt.

Huygens heeft dit in een tabel uitgewerkt met alle logaritmen op een nauwkeurigheid van 10 decimalen, wat opzienbarend is vooral met het oog op de mogelijkheden in zijn tijd.

31-toonsorgel[bewerken]

Adriaan Fokker ontwierp een 31-toonsorgel met een alternatief toetsenbord. Dit instrument werd in 1950 geïnstalleerd in het Teylers museum. O.a. Henk Badings schreef muziek voor dit muziekinstrument. Het orgel is in 2000 ontmanteld en opgeslagen bij de bouwer Pels & Van Leeuwen in 's-Hertogenbosch, waar het de afgelopen jaren is gerestaureerd. Het is in 2009 geplaatst in de BAM-zaal in het Muziekgebouw aan 't IJ en op zondag 17 mei 2009 o.a. door Danny de Graan ingespeeld. Het orgel werd ook bespeeld door Fokker-organist Joop van Goozen, die sinds 10 jaar het instrument niet meer had bespeeld.

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]