31-toonsverdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De 31-toonsverdeling in de muziek is de verdeling van het octaaf in 31 gelijke verhoudingen. Deze verdeling is geïntroduceerd door Christiaan Huygens, die de middentoonstemming als voorbeeld nam, maar daar het liefst een evenredige toonsverdeling van wilde maken. In een evenredige toonsverdeling kan namelijk naar believen gemoduleerd worden, zonder dat intervallen in de ene toonladder goed en in de andere anders of zelfs vals klinken. Net als de gangbare stemming is het systeem van Huygens dan ook een gelijkzwevende stemming.

Ontdekking[bewerken]

Huygens is waarschijnlijk op het aantal 31 gekomen door een kettingbreuk van de middentoonskwint te formuleren en van de convergenten van de kettingbreuk de meeste precieze te kiezen, die tevens nog praktisch uitvoerbaar was. Daar de middentoonskwint een verhouding heeft van \mu = \frac{1}{4} \cdot ^{2}\log(5) en de noemer van de reeks convergenten \frac{p_n}{q_n} kleiner moet zijn dan q_{n+1}, ontwikkelt de kettingbreuk zich als volgt:

\mu = \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}}}}}}}

De convergentenreeks die hieruit ontstaat, verkregen door steeds een breuk van de kettingbreuk onder de deelstreep toe te voegen, gaat dan als volgt: \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7}, \frac{7}{12}, \frac{11}{19}, \frac{18}{31}, \frac{101}{174}, \frac{119}{205}, ...

We zien hier de kwint van de evenredige 12-toonsstemming van de piano in terug, namelijk 7/12, maar het belangrijkste is het quotiënt 18/31, dat de meest precieze en nog praktisch uitvoerbare oplossing is. Een onderverdeling van 174 halve tonen in een octaaf is namelijk ondoenlijk. De 19-toonsverdeling is ook een toonschaal die net als de 31-toonsverdeling gemiddeld een reinere klank oplevert dan de 12-toonsverdeling. De 31-toonsverdeling echter heeft qua toonzuiverheid de beste eigenschappen.

Daar een octaaf een frequentieverhouding heeft van 1 : 2 (de C heeft een twee keer zo lage frequentie als de C'), hebben twee opeenvolgende halve tonen in deze toonverdeling een frequentieverhouding van 1 : \sqrt[31]{2}. We zien dan dat het Huygens formidabel is gelukt om de middentoonskwint te benaderen. In cents heeft de middentoonskwint een waarde van 1200 \cdot \frac{1}{4} \cdot ^{2}\log(5) = 696,5784...cent en de kwint van de 31-toonsverdeling een waarde van 1200\cdot^{2}\log{(\sqrt[31]{2})^{18}} = 696,7742 ..cent.

Uitwerking[bewerken]

Huygens realiseerde zijn 31-toonsstemming door middel van een monochord.

Huygens verdeelde de kam van het monochord in 100 000 gelijke eenheden. Plaats je de kam op de helft, dan hoor je een toon c en verplaats je hem vervolgens helemaal naar het eind, dan hoor je weer een toon C (een octaaf lager). Hiertussen liggen dan alle 31 tonen van de toonsverdeling.

Daar de verhouding van twee opeenvolgende tonen 1 : \sqrt[31]{2} is en Huygens wilde werken met toonverschillen berekende hij de logaritme hiervan, uitkomend op \log(\sqrt[31]{2}) = 0,0097106450. Deze groeifactor heeft hij vervolgens bij de logaritme van 50 000, zijn beginpunt (hij begon immers op de helft van de kamlengte), opgeteld. Doe je dit 31 keer, dan kom je op 4,9999999993 uit, wat tot op zeer nauwkeurig niveau bij de logaritme van 100 000, namelijk 5, uitkomt.

Huygens heeft dit in een tabel uitgewerkt met alle logaritmen op een nauwkeurigheid van 10 decimalen, wat opzienbarend is vooral met het oog op de mogelijkheden in zijn tijd.

Notennamen[bewerken]

Als een 31-toonssysteem te pas wordt gebracht, wordt de grote secunde niet verdeeld in halve tonen, maar in vijf kleine diëzen. Er treden dus onvermijdelijk problemen op met de nomenclatuur. Meestal worden de extra tonen benoemd naar analogie van het kwarttoonsysteem. Een toon die één diëze hoger klinkt dan de c wordt ci genoemd, twee diëzen of een overmatige prime hoger wordt cis, drie diëzen of een kleine secunde hoger een des (cis en des zijn niet gelijk aan elkaar; dit is inherent aan het systeem!), vier diëzen hoger een deh en vijf diëzen hoger een d.

Net zoals in andere gelijkzwevende stemmingen kent de 31-toonsverdeling een aantal enharmonische tonen. Deze zijn echter heel anders dan bij de gangbare 12-toonsstemming. Zo-even bleek al dat cis en des niet aan elkaar gelijk zijn. Wel enharmonisch zijn:

  • ci en deses
  • deh en cisis
  • di en eses
  • eh en disis
  • ei en fes
  • feh en eis
  • fi en geses
  • geh en fisis
  • gi en ases
  • ah en gisis
  • ai en beses
  • beh en aisis
  • bi en ces
  • ceh en bis

31-toonsorgel[bewerken]

Adriaan Fokker ontwierp een 31-toonsorgel met een alternatief toetsenbord. Dit instrument werd in 1950 geïnstalleerd in het Teylers museum. O.a. Henk Badings schreef muziek voor dit muziekinstrument. Het orgel is in 2000 ontmanteld en opgeslagen bij de bouwer Pels & Van Leeuwen in 's-Hertogenbosch, waar het de afgelopen jaren is gerestaureerd. Het is in 2009 geplaatst in de BAM-zaal in het Muziekgebouw aan 't IJ en op zondag 17 mei 2009 o.a. door Danny de Graan ingespeeld. Het orgel werd ook bespeeld door Fokker-organist Joop van Goozen, die sinds 10 jaar het instrument niet meer had bespeeld.

Behalve de stemming van de pijpen was vooral de klaviatuur geen sinecure. Een toetsenbord met 31 toetsen per octaaf wordt al gauw te breed voor een mensenhand, en als men de toetsen verkleint worden ze te smal voor een vinger. De klavieren - twee manualen en een pedaal - kregen daarom een nieuwe inrichting met steeds vier toetsen boven elkaar die elk één diëze van elkaar verschillen. De bovenste toets van de ene rij komt overeen met de onderste van de volgende; als het eerste rijtje bijvoorbeeld met een cis eindigt, kun je dezelfde cis ook op het tweede rijtje spelen. De zeven tonen zonder voortekens worden met witte toetsen gespeeld, de tonen die met één mol of kruis worden aangegeven hebben zwarte toetsen, de overige tonen (die met kwarttoontekens dan wel dubbelkruisen of -mollen worden aangegeven; zie boven) speelt men met blauwe toetsen.

De dispositie is als volgt:

Manuaal I C-g```

Quintadena 8`
Prestant 4`

Manuaal II C-g```

Salicionaal 8`
Roerfluit 4`

Pedaal C-f

Subbas 16`
Gedekt 8`

Koppelingen: I-II, P-I, P-II
Stemming: 440 hz.

Behalve de boven beschreven klavieren is er ook een conventionele klaviatuur met 12 toetsen per octaaf. De witte toetsen komen overeen met die op het grote klavier, de zwarte toetsen slaan de tonen cis, es, fis, gis en bes aan. Zo kan men oude muziek in een soort middentoonstemming spelen.

Er is bewust geen tweevoetsregister aan het orgel toegevoegd, omdat zulke registers snel ontstemmen. Dit zou bij een orgel met zulke subtiele toonsafstanden nog veel storender zijn dan bij een conventioneler instrument.

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]