Stemming van Pythagoras

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De stemming van Pythagoras is een muzikale stemming waarin zo veel mogelijk reine kwarten en kwinten aanwezig zijn.

Mesos als uitgangspunt[bewerken]

Pythagoras vertrok in zijn muziekbeschrijvingen vanuit de μέσος (mesos = middelste toon), tegenwoordig in het algemeen weergegeven d.m.v. a1. Dit is anders dan bij het huidige muziektheoretische denken, waarin men altijd van onder naar boven denkt, en vanuit grondtonen de fenomenen van samenklank verklaart.

Uitsluitend door gebruik te maken van de intervallen die bepaald worden door de eerste 4 harmonischen (grondtoon, octaaf, kwint en kwart), construeerde hij zijn toonladder.

De eerste vier harmonischen zijn a, a1, e2 en a2. Deze kregen de nummers 1, 2, 3 en 4 en ontstaan bij de snaarlengtes 1, 1/2, 1/3 en 1/4 op het door Pythagoras gebruikte monochord.

Daarmee waren de breuken gevonden, die de intervallen kwantificeerden. De snaarlengtes kunnen worden vermenigvuldigd met:

  • 2 = octaaf omlaag
  • 1/2 = octaaf omhoog
  • 3/2 = kwint omlaag
  • 2/3 = kwint omhoog
  • 4/3 = kwart omlaag
  • 3/4 = kwart omhoog

Met behulp van deze natuurzuivere intervallen werd een toonladder berekend, die een slordige 17 eeuwen lang, tot aan het begin der middeleeuwse polyfonie, in gebruik is gebleven.

De toonladder van Pythagoras ziet er zo uit:

de tonen E D C B A G F E
de constructie 2/3 3/4 27/32 8/9 1 9/8 81/64 4/3
snaarlengtes 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
toonafstanden 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243

Constructie[bewerken]

  • Afgeleid uit a1 (=1):
    • e2: 1 × 2/3 = 2/3 (kwint omhoog).
    • e1: 1 × 4/3 = 4/3 (kwart omlaag).
    • d2: 1 × 3/4 = 3/4 (kwart omhoog).
  • Afgeleid uit de e1 werd:
    • b1: 4/3 × 2/3 = 8/9 (kwint omhoog).
  • Beginnend met de d2 werden de overige tonen één voor één uit elkaar afgeleid:
    • g1: 3/4 × 3/2 = 9/8 (kwint omlaag), daaruit werd afgeleid:
    • c2: 9/8 × 3/4 = 27/32 (kwart omhoog), daaruit werd afgeleid:
    • f1: 27/32 × 3/2 = 81/64 (kwint omlaag).
voorbeeld 1: Pythagoras' toonladder met de breuken per toon

Diatoniek[bewerken]

Opmerkelijk is dat er slechts twee verschillende secundes in zijn, een grote en een kleine. De afstand tussen twee tonen wordt gemeten door het getal van de eerste (hoogste toon) te delen door die van de lagere, dezelfde uitkomst verkrijgt men door te vermenigvuldigen met de eerste, maar dan omgekeerde breuk (in feite wordt zo de stijgingsratio berekend):

  • e2 tot d2: 3/2 × 3/4 = 9/8
  • d2 tot c2: 4/3 × 27/32 = 108/96 = 9/8
  • c2 tot b1: 32/27 × 8/9 = 256/243
  • b1 tot a1: 9/8 × 1 = 9/8
  • a1 tot g1: 1 × 9/8 = 9/8
  • g1 tot f1: 8/9 × 81/64 = 648/576 = 9/8
  • f1 tot e1: 64/81 × 4/3 = 256/243
voorbeeld 2: Pythagoras' toonladder met de breuken per interval

Dalende toonladder[bewerken]

De complete toonladder kan nu ook vanuit de e worden beschreven. Opmerkelijk is, dat Pythagoras dezelfde stappen als de huidige basistoonladder in de westerse muziektheorie vond: 1 - 1 - 1/2 - 1 - 1 - 1 - 1/2, maar dan dalend (vergelijk de huidige majeurtoonladder, met dezelfde toonafstanden, in dezelfde volgorde, maar dan stijgend!).

  • e2: 1
  • d2: 9/8 (grote secunde omlaag)
  • c2: 9/8 × 9/8 = 81/64 (tweemaal grote secunde is grote terts omlaag)
  • b1: 81/64 × 256/243 = 4/3 (grote terts plus kleine secunde is reine kwart omlaag)
  • a1: 4/3 × 9/8 = 3/2 (reine kwart plus grote secunde is reine kwint omlaag)
  • g1: 3/2 × 9/8 = 27/16 (reine kwint plus grote secunde is grote sext omlaag)
  • f1: 27/16 × 9/8 = 243/128 (grote sext plus grote secunde is grote septiem omlaag)
  • e1: 243/128 × 256/243 = 2 (grote septiem plus kleine secunde is octaaf omlaag)
voorbeeld 3: Pythagoras' dalende toonladder met de breuken per toon

Komma[bewerken]

Pythagoras' systeem lijkt ideaal en natuurzuiver, vanwege zijn hermetische constructie. Voor polyfone muziek is deze stemming echter ongeschikt, omdat de door Pythagoras gebruikte tertsen te veel afwijken van de reine tertsen 4/5 en 5/6 (en dus voor samenklank onbruikbaar worden). Deze afwijking ten opzichte van het reine interval heet didymisch, of syntonisch komma.

Een tweede "onvolkomenheid", de Pythagoreïsche komma, berekent (i.t.t. beschrijft) hoe en waarom het onmogelijk is, een toonladder met consistent zowel natuurreine octaven als kwinten te construeren.

Verschil met de reine stemming[bewerken]

Als we de verhoudingen zoals die door de breuken wordt aangegeven omrekenen naar cent en een tabel opstellen kunnen we de Stemming van Pythagoras met de reine stemming vergelijken. Als we de (grote) afwijkingen in de chromatische stappen buiten beschouwing laten dan valt op dat de grote terts (C-E) maar liefst 22 cent te hoog is, en daarmee nagenoeg onbruikbaar voor akkoorden.

noot Rein Pythagoras verschil
C 0 0 0
Cis 71 114 43
Des 112 90 -22
D 204 204 0
Dis 275 318 43
Es 316 294 -22
E 386 408 22
Fes 427 384 43
Eis 457 522 65
F 498 498 0
Fis 590 612 22
Ges 631 588 -43
G 702 702 0
Gis 773 816 43
As 814 792 -22
A 884 906 22
Ais 977 1020 43
Bes 1018 996 -22
B 1088 1110 22
Ces 1129 1086 -43
Bis 1159 1224 65
C 1200 1200 0

Pythagorisch interval[bewerken]

Pythagorisch interval
namen verhouding
(breuk) (cent)
komma \tfrac{531441}{524288} 23,5
limma
kleine semitoon
\tfrac{256}{243} 90,2
apotome
grote semitoon
\tfrac{2187}{2048} 113,7
toon \tfrac{9}{8} 203,9
semiditonus \tfrac{32}{27} 294,1
ditonus \tfrac{81}{64} 407,8
reine kwart
diatessaron
sesquitertium
\tfrac{4}{3} 498,0
tritonus \tfrac{729}{512} 611,7
reine kwint
diapente
sesquialterum
\tfrac{3}{2} 702,0
octaaf
diapason
\tfrac{2}{1} 1200,0

Methodologie[bewerken]

Het opstellen van de pythagorische stemming was in Europa historisch gezien een van de eerste wetenschappelijke overgangen van een oorspronkelijk kwalitatief, naar een meer kwantitatief beschouwen van de werkelijkheid. Met andere woorden, Pythagoras gebruikte het getal, in plaats van het woord, als voornaamste bewijsmiddel. In andere, niet-westerse, culturen was zoiets al eerder geschied (zoals bij de Maya's).

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]