Cilinderprojectie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Constructie van de orthografische cilinderprojectie
stereografische cilinderprojectie
gnomonische cilinderprojectie

Een cilinderprojectie is een kaartprojectie die tot stand komt door het aardoppervlak af te beelden op een cilinder die daarna wordt afgerold tot een plat vlak. De kaart is dus rechthoekig met twee tegenover elkaar liggende zijden die op elkaar aansluiten. De andere twee zijden corresponderen met de punten waar de cilinderas het aardoppervlak snijdt. De hele kaart kan wiskundig gezien ook bestaan uit een oneindig lange strook, zodat er gebieden rond de genoemde twee punten zijn die buiten een eindige versie van de kaart vallen.

De afbeelding van het boloppervlak naar de cilindermantel heeft de bijzondere eigenschap dat de afbeelding dezelfde eigenschappen heeft in alle richtingen vanuit de cilinderas. Meer formeel: als de bol gedraaid wordt om deze as, de afbeelding wordt toegepast en het resultaat over dezelfde hoek wordt teruggedraaid krijgt men hetzelfde als wanneer de afbeelding rechtstreeks wordt toegepast. Ook heeft de afbeelding dezelfde eigenschappen naar beide uiteinden van de cilinderas. Meer formeel: als de bol gespiegeld wordt in een vlak loodrecht op de as, de afbeelding wordt toegepast en het resultaat wordt teruggespiegeld krijgt men hetzelfde als wanneer de afbeelding rechtstreeks wordt toegepast.

De kaart heeft in de rchting loodrecht op de cilinderas een grootcirkel in het midden die is weergegeven als rechte lijn, en in de asrichting loodrecht daarop staande halve grootcirkels weergegeven als evenwijdige rechte lijnen.

Meestal neemt men als cilinderas de Aardas, en beeldt men een halfvlak met die as als rand af op de snijlijn van dat halfvlak met de cilinder. De wijze van afbeelden is dan analoog voor elke lengtegraad, en analoog voor het noordelijk en zuidelijk halfrond. Het gevolg is dat op de kaart de parallellen en meridianen elkaar onder rechte hoeken snijden: er ontstaat een rechthoekig graadnet. Verder staan de meridianen overal op gelijke afstand van elkaar (de lengtegraad is een lineaire schaal), en is elke parallel even ver van de evenaar als de parallel met tegengestelde breedtegraad. De verzamelnaam voor projecties met deze eigenschappen is normale cilinderprojectie / normal cylindrical projection. De linker- en rechterrand van de volledige kaart sluiten op elkaar aan.

Er zijn dan nog verschillende manieren om de projectie uit te voeren. De projectie wordt gegeven door y als functie van de geografische breedte \beta\, (of analoog bij een cilinderas in een andere stand).

Met verder:

  • R de straal van de Aarde
  • s de schaal[1] in de richting evenwijdig aan de cilinderas

hebben we de volgende cilinderprojecties.

  • Echte cilinderprojecties:
    • Oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie (orthografische projectie), y\,= Rs \sin\beta: men trekt lijnen van de centrale as van de cilinder haaks op die as naar de mantel; de grootte van de cilinder ten opzichte van de bol bepaalt de variant van de projectie.
    • Gnomonische cilinderprojectie, y\,= Rs \tan \beta: men trekt lijnen van het middelpunt van de bol naar de mantel van de cilinder. De volledige kaart is oneindig hoog; op een daadwerkelijke kaart ontbreken dus altijd gebieden rond de Noord- en Zuidpool. Gebieden daar dichtbij worden sterk vergroot afgebeeld.
    • Stereografische cilinderprojectie, y\,= 2 Rs \tan \frac{\beta}{2}: men trekt lijnen van een punt op de evenaar aan de andere zijde van de Aarde naar de mantel van de cilinder.
  • Onechte cilinderprojecties (geen meetkundige projectie in de strikte zin):
    • Equidistante cilinderprojectie: afstandsgetrouw langs meridianen, y\,= Rs \beta. Varianten met behoud van deze afstandsgetrouwheid krijgt men als men de kaart verticaal uitrekt of comprimeert. Men kan zo een breedtegraad kiezen waarop een vierkantje op Aarde een vierkantje op de kaart is. Dat geldt dan ook op de tegengestelde breedtegraad.
    • Mercatorprojectie: hoekgetrouw, y\ = Rs \ln\left[\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\beta}{2}\right)\right]. Een vierkantje op Aarde is steeds een vierkantje op de kaart. De volledige kaart is oneindig hoog; op een daadwerkelijke kaart ontbreken dus altijd gebieden rond de Noord- en Zuidpool. De schaal is in elke richting \frac{s}{cos \beta}.

In de buurt van de grootcirkel in het midden (β = 0) is er bij de juiste schaling tussen de betreffende resultaten grote overeenkomst.

Bij de hoekgetrouwe projectie ligt met s ook de schaal in de dwarsrichting vast, bij de andere projecties is die willekeurig. Deze kan dus zo gekozen worden dat bij een bepaalde β de schaal in elke richting gelijk is. Dit geldt dan ook voor de tegengestelde waarde van β.

Andere oriëntaties[bewerken]

Een voorbeeld van een andere oriëntatie van de cilinder is die met de cilinderas door 0° NB 90° WL en 0° NB 90° OL. We hebben hier te maken met dezelfde drie onderling loodrechte grootcirkels die het aardoppervlak verdelen in 8 gelijke boldriehoeken (volgens het patroon van een octaëder). Deze worden hier net als bij de projectie met de cilinderas door de polen weergegeven als 8 rechthoeken, waarvan steeds één zijde een punt voorstelt. Welke hoek van de boldriehoek als zijde wordt voorgesteld verschilt echter steeds. Daarmee samenhangend worden de overige meridianen (waarvan de helften lopen van een hoekpunt naar de tegenoverliggende zijde van een van de genoemde boldriehoeken) en de parallellen (waarvan de kwarten lopen van een zijde naar een andere zijde van een van de genoemde boldriehoeken) in de projectie met de cilinderas door de polen als rechte lijnen en hier als kromme lijnen voorgesteld. Zie ook het betreffende voorbeeld van de Transversale Mercatorprojectie.

Pseudo-cilindrische projecties[bewerken]

Projecties die gebaseerd zijn op een cilinderprojectie maar daarna verder zijn bewerkt om bepaalde eigenschappen te verkrijgen worden pseudo-cilindrisch genoemd. Voorbeelden:

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Schaal 1:1000 wordt daarbij bijvoorbeeld uitgedrukt met het getal 0,001.