Gnomonische projectie

Gnomonische azimutale projectie
Gunstige eigenschap	rechte grootcirkels
Niet-geometrische bewerkingen	geen
Geometrische constructie
Oorsprong	gnomonisch (centraal)
Vorm van het projectievlak	plat vlak
Positie van het projectievlak	equatoriaal (in dit voorbeeld)
Rakend/snijdend	rakend
Portaal    Geografie

De gnomonische projectie of centrale projectie is een projectiemethode waarbij een ruimtelijke figuur wordt beschreven door projectie langs lijnen loodrecht op het oppervlak van het te projecteren ruimtelijke lichaam. Gnomonische projectie wordt in de cartografie gebruikt om een afbeelding van een boloppervlak te maken op een aan de bol rakend plat vlak vanuit het middelpunt van de bol. In de kristallografie wordt gnomonische projectie gebruikt om kristallen te beschrijven, waarbij de loodlijnen op de kristalvlakken geprojecteerd worden op een vlak.

Cartografie: gnomonische projectie van globes

Kaarten op basis van de gnomonische azimutale projectie hebben als voordeel dat grootcirkels op de bol (waaronder alle meridianen en de evenaar) rechte lijnen op de kaart vormen, zodat de kortste afstand (geodetische lijn) tussen twee punten op de bol tevens de kortste afstand tussen twee punten op de kaart is. Dit maakt zulke kaarten geschikt voor toepassing in de scheep- en luchtvaart.

Nadelen van de projectie zijn dat slechts de halve bol kan worden afgebeeld, en dat de vervormingen bij grote hoeken enorm zijn.

Gegeven de geografische breedte $\beta\,$ en lengte $\lambda\,$ en het midden van de kaart (breedte $\beta_{0}\,$ en lengte $\lambda_{0}$) dan wordt de projectie gegeven door:

$x\,= \frac{\cos\beta\ \sin(\lambda-\lambda_{0})}{\cos\gamma}$

$y\,= \frac{\cos\beta_{0}\ \sin\beta\ -\sin\beta_{0}\ \cos\beta\ \cos(\lambda-\lambda_{0})}{\cos\gamma}$

met

$\cos\gamma\,= \sin\beta_{0}\ \sin\beta + \cos\beta_{0}\ \cos\beta\ \cos(\lambda-\lambda_{0})$

Als $\cos\gamma$ negatief is, ligt het af te beelden punt op een ander halfrond dan het midden van de kaart.

In het polaire aspect (projectievlak op de Noordpool) valt dit te vereenvoudigen tot:

$x\,= \sin\lambda\ \cot\beta$

$y\,= -\cos\lambda\ \cot\beta$

Hier moet $\beta$ groter zijn dan nul (het Zuidelijk halfrond inclusief de evenaar kan niet worden afgebeeld).

Inverse

De inverse gnomonische projectie beeldt het platte projectievlak af op een deel van het halve boloppervlak volgens:

$\beta\,= \arcsin( \cos\gamma \sin\beta_{0} + \frac{y \sin\gamma \cos\beta_{0}} {\rho})$

$\lambda\,= \lambda_{0} + \arctan( \frac{x \sin\gamma}{\rho\cos\beta_{0}\cos\gamma - y\sin\beta_{0}\sin\gamma} )$

met

$\rho\,= \sqrt{x^2+y^2}$

$\gamma\,= \arctan\rho$

Zie ook

• Lijnperspectief

Andere azimutale projecties:

• Stereografische projectie

Toepassing van de gnomonische projectie:

• Polyederprojectie