Kaartprojectie

Een kaartprojectie is een methode om het gebogen oppervlak van de aarde over te brengen op een vlakke kaart. Dit vindt plaats door middel van wiskundige transformaties of projectieformules die in een aantal gevallen ook als meetkundige projectie kunnen worden weergegeven op een ontwikkelbare oppervlakte. Voor de meeste kaartprojecties gaat dit laatste echter niet op, zodat de term projectie enigszins misleidend kan zijn.

Kaartprojecties waar dit wel voor opgaat, kan men zich voorstellen als een diavertoning, met een denkbeeldig model van het aardoppervlak als dia en de kaart als projectiescherm. De lichtbron bevindt zich dan in het centrum van de bol, aan de andere kant van de bol of op grote afstand. Het projectiescherm kan een kegel zijn, of de uitersten daarvan; een cilinder of een plat vlak. Afhankelijk van de plek van de 'lichtbron', de oorsprong van de projectie, en de vorm en positie van het 'projectiescherm' (het kaartbeeld) ontstaan allerlei verschillende soorten projecties met uiteenlopende eigenschappen.

Het is niet mogelijk om de aarde zonder vervormingen weer te geven op een plat vlak. Er zijn dan ook vele kaartprojecties met verschillende eigenschappen. Afhankelijk van de aan de kaart gestelde eisen en het af te beelden gebied, is een projectie meer of minder geschikt. Bij nationale coördinatensystemen is dan ook gekozen voor een kaartprojectie die bij het betreffende land past.

Vorm van de aarde[bewerken]

De vorm van de aarde heeft een grillig verloop dat ongeschikt is om te dienen als uitgangspunt bij het vervaardigen van een kaart. Om dit mogelijk te maken wordt gebruikgemaakt van benaderingen en tussenstappen zoals de rekenbol. In toenemende mate van benadering van de werkelijke vorm zijn dit de bol, de omwentelingsellipsoïde en de geoïde.

Bol[bewerken]

Indien de nauwkeurigheid niet zo groot hoeft te zijn, zoals bij kaarten op kleine schaal als wereldkaarten, kan de aarde als bol worden beschouwd.

Ellipsoïde[bewerken]

Isaac Newton berekende reeds in de 17e eeuw op theoretische gronden dat de Aarde als gevolg van de zwaartekracht enerzijds en de middelpuntvliedende kracht anderzijds geen bol is, maar een oblate ellipsoïde met afgeplatte polen. Later werd die afplatting nauwkeurig berekend.

Er zijn verschillende referentie-ellipsoïdes in gebruik die verschillen in vorm, afmetingen, positie, oriëntatie en schaalfactor. Zo zijn oudere ellipsoïdes in gebruik die goed aansluiten bij de lokale geoïde, maar die wereldwijd niet goed bruikbaar zijn. Tegenwoordig zijn ellipsoïdes in gebruik met het massacentrum van de aarde als oorsprong, zoals WGS 84.

Geoïde[bewerken]

Het topografisch oppervlak wordt benaderd met de geoïde, het vlak op gemiddeld zeeniveau waar dezelfde zwaartekrachtpotentiaal heerst, het equipotentiaalvlak. Ook dit is echter nog dusdanig onregelmatig dat hiervan geen bruikbaar wiskundig model is te maken.

Vormen van projectie[bewerken]

Een aantal projecties ontstaat in eerste instantie uit een geometrische constructie zoals hierboven aangegeven. Vaak is de constructie eerder mathematisch, zoals bij de equidistante cilinderprojectie, in welk geval vaak wordt gesproken van onechte projecties. Hieronder volgt een overzicht van de kenmerken die de 'echte' projecties bepalen.

De kenmerken worden ingedeeld naar de plaats van de oorsprong ('lichtbron') en de eigenschappen van het projectievlak. Door de projectie in tweede instantie verder te bewerken om gewenste eigenschappen te krijgen, ontstaat een onechte projectie, zoals de pseudo-cilindrische oppervlaktegetrouwe sinusoïde projectie en de Robinsonprojectie. Het projectievlak wordt in het algemeen zodanig gekozen dat het zonder tweede projectie tot een plat vlak kan worden gemaakt. Na de keuze voor een projectievlak, kan dit op verschillende manieren tegen (of gedeeltelijk 'in') de bol worden geplaatst, meestal zodanig dat het af te beelden deel van de wereld in het midden van de kaart terecht komt, waar de vervormingen het kleinst zijn.

	Kegelprojectie	Cilinderprojectie	Azimutale projectie
Projectievlak	Het projectievlak is een kegelmantel.	Het projectievlak is een cilindermantel.	Het projectievlak is een plat vlak.
Ligging	De ligging kan normaal, transversaal of scheef zijn. Bij een normale ligging valt de centrale as samen met de aardas, terwijl deze bij een transversale ligging negentig graden gedraaid ligt ten opzichte van normaal. Een scheve (oblique) ligging valt tussen beide in.
Contact	Het projectievlak kan het aardoppervlak raken, maar ook snijden. De vervorming is minimaal waar het projectievlak contact maakt. Bij normale cilinders en kegels als projectievlak ontstaan dan twee afstandsware parallellen, bij azimutale projecties ontstaat een afstandsware cirkel.
Oorsprong De oorsprong van de projectie, het 'lichtpunt', kan op verschillende plaatsen ten opzichte van de bol gekozen worden	Bij de gnomonische of centrale projectie ligt de oorsprong van de projectie in het centrum van de bol. Bij de stereografische projectie ligt de oorsprong aan de overzijde van de bol. Bij de orthografische projectie ligt de oorsprong (of eigenlijk oorsprongen) zich in de ruimte zodanig dat de 'stralen' van de projectie het projectievlak steeds onder een rechte hoek raken. Bij afbeelding op een plat vlak komt dat overeen met een oorsprong op grote afstand. Bij de perspectiefprojectie ligt de oorsprong buiten de aardbol en wordt het dichtstbijgelegen deel van de bol afgebeeld.
Conforme projecties Een hoekgetrouwe of conforme kaart laat hoeken intact en beeldt daardoor een kleine vorm op de bol bij benadering congruent af op de kaart	Conforme kegelprojectie van Lambert	Normale conforme projectie	Stereografische projectie
Equivalente projecties De schaal van de equivalente kaart kan variëren, maar de verhouding van de oppervlakten van twee gebieden op de kaart is gelijk aan de verhouding van hun oppervlakten in werkelijkheid	Equivalente kegelprojectie	Cilinderprojectie van Lambert	Azimutale projectie van Lambert
Equidistante projectie Op een afstandsgetrouwe of equidistante kaart is de schaal langs bepaalde lijnen onafhankelijk van het punt op zo'n lijn. Deze lijnen kunnen ontspringen aan één punt (radiaal) of parallel langs elkaar liggen. Langs lijnen die uit een ander punt ontspringen respectievelijk die niet parallel lopen geldt die afstandsgetrouwheid niet	Equidistante kegelprojectie	Kwadratische platkaart	Equidistante azimutale projectie

Gewenste eigenschappen[bewerken]

Door bovenstaande parameters te kiezen, en als gevolg van eventuele nabewerkingen, krijgt de kaart bepaalde eigenschappen. Gewenste eigenschappen kunnen zijn:

hoekgetrouw

een hoekgetrouwe of conforme kaart laat hoeken intact en beeldt daardoor een kleine vorm op de bol bij benadering congruent af op de kaart;
richtinggetrouw

grootcirkels door één bepaald punt vormen rechte lijnen;
oppervlaktegetrouw

de schaal van de equivalente kaart kan variëren, maar de verhouding van de oppervlakten van twee gebieden op de kaart is gelijk aan de verhouding van hun oppervlakten in werkelijkheid;
aaneensluitend

door kaarten te verknippen kan voor elk van de delen een optimale projectie worden gekozen, maar de delen sluiten dan niet naadloos meer op elkaar aan;
afstandsgetrouw

op een afstandsgetrouwe of equidistante kaart is de schaal langs bepaalde lijnen onafhankelijk van het punt op zo'n lijn. Deze lijnen kunnen ontspringen aan één punt (radiaal) of parallel langs elkaar liggen. Langs lijnen die uit een ander punt ontspringen resp. die niet parallel lopen geldt die afstandsgetrouwheid niet.
behoud van kortste weg

bij sommige projecties (m.n. de gnomonische azimutale) zijn alle grootcirkels rechten, waarmee rechte lijnen op de kaart ook de kortste weg tussen twee punten aangeven.

Bovenstaande eigenschappen zijn niet allemaal in één enkele projectie te combineren. Hoekgetrouwheid en oppervlaktegetrouwheid gaan bijvoorbeeld nooit samen. Als geen van deze eigenschappen bereikt zijn, zoals bij de Winkel-tripelprojectie, spreekt men van een afylactische projectie.