Pisotgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een pisotgetal of pisot-vijayaraghavan-getal is een positief reëel algebraïsch geheel getal α, groter dan 1, waarvan de absolute waarde van alle geconjugeerde elementen (dit zijn alle andere wortels van de minimale polynoom van α) kleiner is dan 1. Anders gezegd: alle geconjugeerde elementen van α liggen binnen de eenheidscirkel.

Er zijn oneindig veel pisotgetallen. De verzameling van alle pisotgetallen wordt traditioneel aangeduid als S.

Pisotgetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Charles Pisot (1910-1984), die deze getallen in 1938 zijn dissertatie en later verder heeft onderzocht, evenals de Indische wiskundige Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902-1955). Het was Raphaël Salem die de term "Pisotgetal" introduceerde in 1943. Pisot was echter niet de ontdekker van deze getallen; Axel Thue en later Godfrey Harold Hardy hadden ze al ontdekt bij de studie van diophantische benaderingen.

Indien minstens een geconjugeerd element van α gelijk is aan 1 (en de andere kleiner dan 1), dan is α een salemgetal. De verzameling van Salemgetallen wordt traditioneel aangeduid als T.

Voorbeelden[bewerken]

  • Elk geheel getal groter dan 1 is een pisotgetal. Een rationaal getal dat niet geheel is, is nooit een pisotgetal.
  • Elke positieve wortel van de algebraïsche vergelijking
x^{n}-x^{n-1}-x^{n-2}-\dots-1 = 0,

voor n = 2, 3, ... is een Pisotgetal.

  • De twee kleinste Pisotgetallen zijn:
\theta_1 = 1,32471 79572 44746 02596 …,[1]

(dit is het plastisch getal, de reële wortel van x^3 - x - 1=0), en

\theta_2 = 1,38027 75690 97614 11567 …,[2]

(de positieve reële wortel van x^4 - x^3 - 1=0).

  • Het getal van de gulden snede  \varphi = 1,61803398874989484820... is een pisotgetal, evenals  \varphi ^2 ; hun minimaalpolynomen zijn respectievelijk  x^2 - x - 1 en  x^2 - 3 x + 1 .

David Boyd ontwikkelde een algoritme dat alle pisotgetallen in een gegeven eindig interval van de reële lijn vindt.[3]

Eigenschappen[bewerken]

Een kenmerk van de niet-gehele pisotgetallen is dat de hogere machten ervan steeds dichter een geheel getal benaderen; het zijn "bijna-gehele getallen". Hoe hoger de macht van een pisotgetal α, hoe dichter die bij een geheel getal ligt:

 \lim_{n \to \infty}  \|\alpha^n\| = 0

( \|x\| is de afstand van x tot het meest nabije geheel getal). Voor het getal van de gulden snede bijvoorbeeld:

 \varphi ^{10} = 122,99186 \dots ,  \varphi ^{15} = 1364,0007331 \dots enzovoort.

Als α een reëel algebraïsch getal > 1 is, dan is α een pisotgetal als en slechts als er een getal λ > 0 bestaat zodanig dat:

 \|\lambda\alpha^n\| \to 0, \quad n\to\infty.


Het getal van de gulden snede is het kleinste ophopingspunt in de verzameling S van pisotgetallen. Vijayaraghavan heeft bewezen dat er oneindig veel ophopingspunten zijn in S. Salem bewees dat de verzameling van Pisotgetallen al haar ophopingspunten bevat en dat het dus een gesloten verzameling is. Salem bewees ook dat elk pisotgetal de limiet is van een dalende en een oplopende rij van salemgetallen.

Een pisotgetal α is een bijzonder of speciaal pisotgetal indien α/(α - 1) ook een Pisotgetal is. Lagarias, Porta en Stolarsky (1993-1994) vonden elf dergelijke getallen. C. J. Smyth bewees nadien dat er geen andere bijzondere pisotgetallen zijn.[4] De twee kleinste pisotgetallen, het gulden getal en het getal 2 zijn bijzondere pisotgetallen.

Toepassingen[bewerken]

Pisot- en salemgetallen komen voor in uiteenlopende studiegebieden, waaronder:[5]

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. rij A060006 in OEIS
  2. rij A086106 in OEIS
  3. Boyd, David W. "Pisot and Salem Numbers in Intervals of the Real Line." Mathematic of Computation, oktober 1978, Vol. 32 nr. 144, blz. 1244-1260
  4. Smyth, C.J. "There are Only Eleven Special Pisot Numbers." Bulletin of the London Mathematical Society, 1999, Vol. 31 nr. 1, blz. 1-5.
  5. Shigeki Akiyama, DoYong Kwon "Constructions of Pisot and Salem numbers with flat palindromes."
  6. Jun Luo "A Note on a Self-Similar Tiling Generated by the Minimal Pisot Number." Fractals, september 2002, Vol. 10 nr. 3, blz. 335