Driehoeksgetal

De eerste zes driehoeksgetallen

Een driehoeksgetal is een type veelhoeksgetal. Een driehoeksgetal kan grafisch worden weergegeven door het aantal stippen in een gelijkzijdige driehoek, die gelijkmatig met stippen wordt gevuld. Aangezien bijvoorbeeld drie stippen in de vorm van een gelijkzijdige driehoek kunnen worden gelegd, is drie dus een driehoeksgetal.

Het n-de driehoeksgetal is het aantal stippen in een driehoek met n stippen aan één zijde. Drie is dus het tweede driehoeksgetal. De eerste zeven driehoeksgetallen zijn de niet-negatieve gehele getallen 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21. In het plaatje worden deze (behalve 0) weergegeven.

Definitie

Het n-de driehoeksgetal $T_{n}$ is de som van de getallen 1 tot en met n. In formule:

$T_{n}=1+2+3+\cdots +n=\sum _{i=1}^{n}i.$

Met behulp van de somformule van Gauss volgt:

$T_{n}={\tfrac {1}{2}}n(n+1)$.

Dit is hetzelfde als

$T_{n}={n+1 \choose 2}$

(dit is de binomiaalcoëfficiënt van n+1 over 2).

Eigenschappen

De som van alle reciproque driehoeksgetallen is

$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.$

Dit volgt uit de telescoopreeks

$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.$

• Ieder natuurlijk getal, behalve 0, is te schrijven als som van ten hoogste drie driehoeksgetallen. Dit is bewezen door Gauss (zie bijvoorbeeld Beukers, 1999) in 1796. Deze eigenschap is een bijzonder geval van de veelhoeksgetalstelling van Fermat.
• Een getal N is een driehoeksgetal dan en slechts dan als 8N+1 een kwadraat is.
• Het n-de driehoeksgetal is gelijk aan het aantal kanten in een volledige graaf met n knopen.
• De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is een kwadraat, bijvoorbeeld T₄ + T₅ = 10 + 15 = 25 = 5².
• De som van de eerste n driehoeksgetallen is gelijk aan het n-de tetraëdergetal.

Zie ook

• Driehoekskwadraatgetal

Bronnen

• Beukers, F. (1999) Getaltheorie voor Beginners, Utrecht: Epsilon uitgaven.

---

Referenties

Mediabestanden

Zie de categorie Triangular numbers van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.