Laplaceverdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Jump to search
Laplaceverdeling
Kansdichtheid
Dichtheden van Laplaceverdelingen
Verdelingsfunctie
Verdelingsfuncties van Laplaceverdelingen
Parameters μ plaats ()
b > 0 schaal ()
Drager
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verwachtingswaarde μ
Mediaan μ
Modus μ
Variantie
Scheefheid 0
Kurtosis 3
Entropie
Moment-
genererende functie
Karakteristieke functie
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

In de kansrekening en de statistiek is de Laplaceverdeling een continue verdeling genoemd naar Pierre-Simon Laplace. Het is de verdeling van het verschil van twee onderling onafhankelijke stochastische variabelen met dezelfde exponentiële verdeling. De verdeling wordt wel dubbel exponentiële verdeling genoemd, vanwege de vorm van de kansdichtheid die bestaat uit een exponentiële dichtheid en het gespiegelde daarvan, "rug-aan-rug", met een verschuiving van de top. De term 'dubbel exponentiële verdeling, wordt echter ook wel gebruikt voor de Gumbel-verdeling.

Definitie[bewerken]

De Laplaceverdeling met parameters en is een continue kansverdeling met kansdichtheid

.

De parameter is de plaatsparameter en de parameter de schaalparameter.

Een stochastische variabele met deze verdeling wordt wel Laplace-verdeeld genoemd.


Er is een zekere overeenkomst met de normale verdeling. De normale verdeling is uitgedrukt in de kwadratische afstand tot het midden, terwijl de Laplace-verdeling is uitgedrukt in de absolute afstand tot het midden.

Eigenschappen[bewerken]

Voor een stochastische variabele die Laplace-verdeeld is, geldt:

Verwachtingswaarde, mediaan en modus[bewerken]

De parameter is zowel de verwachtingswaarde, de mediaan als de modus:

Variantie[bewerken]

De variantie wordt bepaald door de parameter :

Kurtosis[bewerken]

De (exces) kurtosis van een Laplaceverdeling is gelijk aan 3.

Immers

Momentgenererende functie[bewerken]

De momentgenererende functie is

, voor

Karakteristieke functie[bewerken]

Die karakteristieke functie is:

.

Entropie[bewerken]

De entropie (in nat) bedraagt

.

Verband met andere verdelingen[bewerken]

Voor een stochastische variabele die Laplace-verdeeld is, geldt:

is Laplace-verdeeld..
is exponentieel verdeeld met verwachtingswaarde

Als onafhankelijk is van en gelijkverdeeld is als , is

F-verdeeld met 2 vrijheidsgraden in de teller en 2 vrijheidsgraden in de noemer.

Voor een aselecte steekproef uit de Laplace-verdeling, geldt:

is chi-kwadraatverdeeld met vrijheidsgraden.

Als een aselecte steekproef vormen uit de N(0,1)-verdeling, is:

Laplace(0,1)-verdeeld.

Als en onderling onafhankelijk zijn en beide exponentieel verdeeld met en , is

Laplace(0,1)-verdeeld.

Als en onderling onafhankelijk zijn en beide uniform verdeeld op het interval (0,1), is

Laplace(0,1)-verdeeld.