Normalisatiefactor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een normalisatiefactor of normalisatieconstante is een getal dat met een wiskundig object, bijvoorbeeld een vector, wordt vermenigvuldigd. Dikwijls is het de bedoeling dat het object hierdoor een lengte of grootte krijgt die gelijk is aan 1. Die lengte of grootte wordt in de wiskunde een norm genoemd. Normeren komt er dan op neer dat een object gedeeld wordt door zijn eigen norm. De normalisatiefactor is in dat geval dus 1 gedeeld door die norm. Een normalisatiefactor kan ook voorkomen in andere situaties, bijvoorbeeld bij statistische verdelingen met als doel de totale kans gelijk aan 1 te houden, of bij wiskundige transformaties, met als doel een of andere eigenschap van het te transformeren object over te brengen naar het resultaat van de transformatie.

Normalisatie van vectoren[bewerken]

Men kan vectoren slechts normeren indien voor deze vectoren een norm gedefinieerd is. De normalisatiefactor die de norm van de vector gelijk aan 1 maakt, hangt dan af van de norm in kwestie en wordt gegeven door 1 gedeeld door de norm van de vector.

Indien er een inproduct gedefinieerd is, kan hiermee steeds een norm geassocieerd worden. De norm van een vector is dan gedefinieerd als de vierkantswortel van het inproduct van de vector met zichzelf:

||u|| \, = \, \sqrt{\langle u,u \rangle}
  • Voorbeeld: indien als inproduct het gewone scalair product genomen wordt, dan kunnen we de norm van de vector
u \, = \, [ 2\, , \, 3\, , \, -1]
als volgt berekenen met het scalair product:
||u||\,=\,\sqrt{u \cdot u} \,=\,\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2} \, = \, \sqrt{14}
De normalisatiefactor is dus \scriptstyle 1/\sqrt{14}. Door de vector u met deze factor te vermenigvuldigen wordt zijn lengte 1.

Het is belangrijk op te merken dat een vector steeds genormaliseerd is ten opzichte van een zekere norm. Een vector kan dus genormeerd zijn voor een bepaalde norm, maar niet voor een andere.

Niet elke norm is echter het gevolg van een inproduct. Een voorbeeld is de maximumnorm die in het geval van een eindigdimensionale vector x = (x1 , x2 , ... , xn) de gedaante aanneemt:

||x|| \,= \, \mbox{Max}\left\{|x_1| \,, \, \ldots \, , \, |x_n|\right\} \!

Normalisatie van veeltermen en functies[bewerken]

Ook binnen meer algemene genormeerde vectorruimten van bijvoorbeeld veeltermen en (andere) functies kunnen deze elementen genormeerd worden. Opnieuw is de normalisatiefactor 1 gedeeld door de norm. Vaak, maar niet noodzakelijk, is de norm afkomstig van een inproduct en afhankelijk van de toepassing worden er diverse inproducten gebruikt. Bijvoorbeeld is voor een veelterm van de gedaante:

p(x) \, = \, \Sigma_{i=0}^n \,a_i x^i

de norm voor een gegeven inproduct \langle \cdot,\cdot \rangle weer gelijk aan de vierkantswortel van dit inproduct van deze veelterm met zichzelf:

||p(x)|| \, = \, \sqrt{\langle p(x),p(x) \rangle}

In onderstaande formules staat het symbool * voor het complex toegevoegde. Indien de veeltermen reëel zijn, vervalt dit. Mogelijke inproducten voor veeltermen zijn :

  • Een inproduct dat equivalent is met het scalair product:
 \langle p(x),q(x) \rangle \, = \, \Sigma_{i=0}^n \,p_i q^*_i
zodat ||p(x)||^2 \, = \, \Sigma_{i=0}^n \,p_i p^*_i
 \langle p(x),q(x) \rangle \, = \, \int_{-1}^1 \,p(x)\,q^*(x)\,dx
zodat ||p(x)||^2 \, = \, \int_{-1}^1 \,p(x)p^*(x)\,dx
 \langle p(x),q(x) \rangle \, = \, \int_{0}^{+\infty} \, p(x)\,q^*(x) \, e^{-x}\,dx
zodat ||p(x)||^2 \, = \, \int_{0}^{+\infty} \, p(x)p^*(x)\, e^{-x}\, dx

Deze laatste twee inproducten kunnen, naast voor veeltermen, ook gebruikt worden voor meer algemene functies. De normalisatiefactor die de veelterm of functie normeert hangt dus af van het inproduct. Een veelterm of functie die genormeerd is voor het ene inproduct zal dat in het algemeen niet zijn voor een ander.

Voorbeeld: de normalisatiefactor van de veelterm p(x) = 2 + x, is \scriptstyle 1/\sqrt{5} voor het eerste inproduct, \scriptstyle \sqrt{3/26} voor het inproduct van Legendre en \scriptstyle 1/\sqrt{10} voor het inproduct van Laguerre.

Andere normalisatiefactoren[bewerken]

Bij statistische verdelingen[bewerken]

Statistische verdelingen hebben de eigenschap dat de integraal van min tot plus oneindig gelijk moet zijn aan 1. Dit wordt bereikt door een geschikte normalisatiefactor te gebruiken. Bijvoorbeeld, de normaalverdeling heeft als gedaante de bekende klokvorm. De verdeling wordt gegeven door:

f(x) \, = \, \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \, e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }

De klokvorm op zich is een gevolg van de exponentiële functie, maar de normalisatefactor vooraan is nodig om ervoor te zorgen dat de totale kans, gegeven door de integraal van min tot plus oneindig, gelijk is aan 1. Een ander voorbeeld is de chi-kwadraatverdeling, met als kansdichtheid:

f_n(x) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} .

Ook hier dient de constante factor vooraan om voor elke waarde van de parameter n de totale kans, gegeven door de integraal van de kansdichtheidover het interval 0 tot oneindig gelijk aan 1 te hebben.

Bij transformaties[bewerken]

Een transformatie zet een wiskundig object om in een ander. Zo zet de Fouriertransformatie een functie f(t) die van de tijd afhangt om in een functie F(ω) die van de hoekfrequentie ω afhangt. De heen- en terugtransformaties worden respectievelijk gegeven door:

F(\omega) \, = \, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \int_{-\infty}^{+\infty} \, f(x) \, e^{-j\omega t} \, dt

en

f(t) \, = \, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \int_{-\infty}^{+\infty} \, F(\omega) \, e^{j\omega t} \, d\omega

Beide formules bevatten vooraan een gelijke normalisatiefactor. Andere normalisaties zijn mogelijk, maar het product van beiden normalisatiefactoren zal steeds gelijk zijn aan 1/2π. Enkel in dat geval is het resultaat van de heen-transformatie gevolgd door de terug-transformatie (of omgekeerd) weer de oorspronkelijke functie.