Centrum (groepentheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra is het centrum van een groep G de verzameling Z(G) van elementen in G die commuteren met alle elementen van G. Dat is,

Z(G) = \{z \in G \;|\;\forall\,g \in G:  gz = zg \;\}.

Merk op dat Z(G) een subgroep is van G, omdat

  1. Z(G) bevat e, het identiteits element van G, omdat eg = g = ge voor alle g ∈ G door de definitie van e, zodat door de definitie van Z(G), eZ(G);
  2. Als x en y in Z(G) zijn, dan geldt (xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy) voor elke gG, en zo xy is in Z(G) as well (dat wil zeggen dat Z(G) gesloten in);
  3. Als xZ(G), dan is gx = xg voor alle g. Als men twee keer vermenigvuldigt, een keer links en een keer rechts, met x−1, krijgt men x−1g = gx−1; dus is ook x−1 Z(G).

Verder is Z(G) een abelse deelgroep van G, een normale ondergroep van G en zelfs een strikte karakteristieke ondergroep van G, maar niet altijd volledig karakteristiek. Het centrum van een groep is ook de doorsnede van de centralisators van alle elementen van de groep.

Het centrum van G is gelijk aan G dan en slechts dan als G een abelse groep is. Het andere uiterste is een groep waarvan het centrum triviaal is, dat wil zeggen alleen uit het identiteitselement bestaat; men zegt dat G centrumloos als Z(G) is.

Conjugatie[bewerken]

Beschouw de afbeelding f: G → Aut(G) van G naar de groep van automorfismen van G die wordt gedefinieerd door f(g) = φg, waar φg het automorfisme van G is dat wordt gegeven door

\phi_g(h) = ghg^{-1}

Dit is een groepshomomorfisme, en zijn kern is precies het centrum van G, en zijn beeld is de groepp van inwendige automorfismen van G genoemd, genoteerd als Inn(G). Als gevolg van de eerste isomorfismestelling geldt:

G/Z(G)\cong \rm{Inn}(G).

De cokern van deze mapping is de groep \operatorname{Out}(G) van uitwendig automorfismes, en deze vormen de exacte rij:

1 \to Z(G) \to G \to \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G) \to 1.

Voorbeelden[bewerken]

Hogere centra[bewerken]

Wanneer men het centrum van een groep wegdeelt verkrijgt men een volgorde van groepen die men de hogere centrale reeksen noemt

G_0 = G \to G_1 = G_0/Z(G_0) \to G_2 = G_1/Z(G_1) \to \cdots

De kern van deze afbeelding G \to G_i is het i-de centrum van G (tweede centrum, derde centrum, etc.). Deze kern wordt aangegeven door Z^i(G). Deze definitie volgend, kan men het 0-de centrum van een groep definiëren door de identiteits subgroep. Dit kan worden doorgevoerd naar de transfiniete ordinalen door transfiniete inductie; de vereniging van alle hogere centra van een groep wordt het hypercentrum genoemd.[1]

De stijgende keten van subgroepen

1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots

stabiliseert op i (equivalent, Z^i(G) = Z^{i+1}(G)) dan en slechts dan als G_i is centrumloos.

Voorbeelden[bewerken]

  • Voor een centrumloze groep zijn alle hogere centra nul, wat een geval Z^0(G)=Z^1(G) van stabilisatie is.
  • In het lemma van Grün is het quotiënt van een perfecte groep door zijn centrum centrumloos, waardoor men kan stellen dat alle hogere centra gelijk zijn het centrum van de groep. Dit is een geval van stabilisatie op Z^1(G)=Z^2(G).

Referenties[bewerken]

  1. Deze vereniging zal transfiniete termen inhouden als de UCS niet stabiliseert tijdens een eindige stap.

Zie ook[bewerken]