Centrum (groepentheorie)

In de abstracte algebra is het centrum van een groep G de verzameling Z(G) van alle elementen in G die commuteren met alle elementen van G. Dat is,

$Z(G) = \{z \in G \ | \ gz = zg \;\forall\,g \in G\}$.

Merk op dat Z(G) een subgroep is van G, omdat

1. Z(G) bevat e, het identiteits element van G, omdat eg = g = ge voor alle g ∈ G door de definitie van e, zodat door de definitie van Z(G), e ∈ Z(G);
2. Als x en y in Z(G) zijn, dan geldt (xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy) voor elke g ∈ G, en zo xy is in Z(G) as well (dat wil zeggen dat Z(G) gesloten in);
3. Als x is in Z(G), dan gx = xg, wanneer men twee keer vermenigvuldigd, een keer links en een keer rechts, met x⁻¹, krijgt men x⁻¹g = gx⁻¹ — so x⁻¹ ∈ Z(G).

Verder is Z(G) een abelse deelgroep van G, een normale ondergroep van G, en zelfs een strikte karakteristieke ondergroep van G, maar niet altijd volledig karakteristiek.

Het centrum van G is alles van G dan en slechts dan als G een abelse groep is. In het andere uiterste zegt men van een groep dat zij centrumloos als Z(G) triviaal is, dat wil zeggen alleen uit het identiteitselement bestaat.

Conjugatie

Beschouw de map f: G → Aut(G) van G naar de automorfe groep van G die wordt beschouwd door f(g) = φ_g, waar φ_g het automorfisme is van G die wordt gedefinieerd door

$\phi_g(h) = ghg^{-1}$

Dit is een groepshomomorfisme, en zijn kern is precies het centrum van G, en zijn afbeelding wordt de binnen automorfisme groep van G genoemd, genoteerd als Inn(G). Door het eerste isomorfisme theorema krijgen we

$G/Z(G)\cong \rm{Inn}(G).$

De cokern van deze mapping is de groep $\operatorname{Out}(G)$ van uitwendig automorfismes, en deze vormen de exacte volgorde:

$1 \to Z(G) \to G \to \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G) \to 1.$

Voorbeelden

• Het centrum van de groep $\mbox{GL}_n(F)$ van n-bij-n inverse matrices over het veld $F$ is de collectie van scalaire matrices $\{ sI_n | s \in F\setminus\{0\} \}$.
• Het centrum van de orthogonale groep $O(n, F)$ is $\{ I_n,-I_n \}$.
• Het centrum van de quaternionengroep $Q = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$ is $\{1, -1\}$.
• Het centrum van de multiplicatieve groep van niet-nulzijnde quaternionen is de multiplicatieve groep van de niet-nulzijnde reële getallen.
• Door gebruik te maken van de klasse vergelijking kan men bewijzen dat het centrum van een niet-triviale eindige p-groep niet-triviaal is.
• Niet-abelse simpele groepen hebben geen centrum.

Hogere centra

Wanneer men het centrum van een groep wegdeelt verkrijgt men een volgorde van groepen die men de hogere centrale reeksen noemt

$G_0 = G \to G_1 = G_0/Z(G_0) \to G_2 = G_1/Z(G_1) \to \cdots$

De kern van deze afbeelding $G \to G_i$ is het i-de centrum van G (tweede centrum, derde centrum, etc.). Deze kern wordt aangegeven door $Z^i(G)$. Deze definitie volgend, kan men het 0-de centrum van een groep definiëren door de identiteits subgroep. Dit kan worden doorgevoerd naar de transfiniete ordinalen door transfiniete inductie; de vereniging van alle hogere centra van een groep wordt het hypercentrum genoemd.

De stijgende keten van subgroepen

$1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots$

stabiliseert op i (equivalent, $Z^i(G) = Z^{i+1}(G)$) dan en slechts dan als $G_i$ is centrumloos.

Voorbeelden

• Voor een centrumloze groep zijn alle hogere centra nul, wat een geval $Z^0(G)=Z^1(G)$ van stabilisatie is.
• Bij Grüns lemma is het quotiënt van een perfecte groep door zijn centrum centrumloos, waardoor men kan stellen dat alle hogere centra gelijk zijn het centrum van de groep. Dit is een geval van stabilisatie op $Z^1(G)=Z^2(G)$.

Zie ook

• centrum, het begrip centrum in de wiskunde
• centralizer en normalizer
• conjugatie klasse.