Centrum (groepentheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de abstracte algebra is het centrum van een groep G de verzameling Z(G) van alle elementen in G die commuteren met alle elementen van G. Dat is,

.

Merk op dat Z(G) een subgroep is van G, omdat

1. Z(G) bevat e, het identiteits element van G, omdat eg = g = ge voor alle g ∈ G door de definitie van e, zodat door de definitie van Z(G), e ∈ Z(G);
2. Als x en y in Z(G) zijn, dan geldt (xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy) voor elke g ∈ G, en zo xy is in Z(G) as well (dat wil zeggen dat Z(G) gesloten in);
3. Als x is in Z(G), dan gx = xg, wanneer men twee keer vermenigvuldigd, een keer links en een keer rechts, met x⁻¹, krijgt men x⁻¹g = gx⁻¹ — so x⁻¹ ∈ Z(G).

Verder is Z(G) een abelse deelgroep van G, een normale ondergroep van G, en zelfs een strikte karakteristieke ondergroep van G, maar niet altijd volledig karakteristiek.

Het centrum van G is alles van G dan en slechts dan als G een abelse groep is. In het andere uiterste zegt men van een groep dat zij centrumloos als Z(G) triviaal is, dat wil zeggen alleen uit het identiteitselement bestaat.

Inhoud 1 Conjugatie 2 Voorbeelden 3 Hogere centra 3.1 Voorbeelden 4 Referenties 5 Zie ook

[bewerken] Conjugatie

Beschouw de map f: G → Aut(G) van G naar de automorfe groep van G die wordt beschouwd door f(g) = φ_g, waar φ_g het automorfisme is van G die wordt gedefinieerd door

φ_g(h) = ghg ^{− 1}

Dit is een groepshomomorfisme, en zijn kern is precies het centrum van G, en zijn afbeelding wordt de binnen automorfisme groep van G genoemd, genoteerd als Inn(G). Door het eerste isomorfisme theorema krijgen we

De cokern van deze mapping is de groep van uitwendig automorfismes, en deze vormen de exacte volgorde:

[bewerken] Voorbeelden

• Het centrum van de groep GL_n(F) van n-bij-n inverse matrices over het veld F is de collectie van scalaire matrices .
• Het centrum van de orthogonale groep O(n,F) is {I_n, − I_n}.
• Het centrum van de quaternionengroep Q = {1, − 1,i, − i,j, − j,k, − k} is {1, − 1}.
• Het centrum van de multiplicatieve groep van niet-nulzijnde quaternionen is de multiplicatieve groep van de niet-nulzijnde reële getallen.
• Door gebruik te maken van de klasse vergelijking kan men bewijzen dat het centrum van een niet-triviale eindige p-groep niet-triviaal is.
• Niet-abelse simpele groepen hebben geen centrum.

[bewerken] Hogere centra

Wanneer men het centrum van een groep wegdeelt verkrijgt men een volgorde van groepen die men de hogere centrale reeksen noemt

De kern van deze mapping is het i-de centrum van G (tweede centrum, derde centrum, etc.). Deze kern wordt aangegeven door Zⁱ(G). Deze definitie volgend, kan men het 0-de centrum van een groep definiëren door de identiteits subgroep. Dit kan worden doorgevoerd naar de transfiniete ordinalen door transfiniete inductie; de vereniging van alle hogere centra van een groep wordt het hypercentrum genoemd.^[1]

De stijgende keten van subgroepen

stabiliseert op i (equivalent, Zⁱ(G) = Z^{i + 1}(G)) dan en slechts dan als G_i is centrumloos.

[bewerken] Voorbeelden

• Voor een centrumloze groep zijn alle hogere centra nul, wat een geval Z⁰(G) = Z¹(G) van stabilisatie is.
• Bij Grün's lemma is het quotiënt van een perfecte groep door zijn centrum centrumloos, waardoor men kan stellen dat alle hogere centra gelijk zijn het centrum van de groep. Dit is een geval van stabilisatie op Z¹(G) = Z²(G).

[bewerken] Referenties

1. ↑ Deze vereniging zal transfiniete termen inhouden als de UCS niet stabiliseert tijdens een eindige stap.

[bewerken] Zie ook

• centrum, het begrip centrum in de wiskunde
• centralizer en normalizer
• conjugatie klasse.