Johnson-lichaam

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De vierkante koepel J4 is een Johnson-lichaam

In de meetkunde is een Johnson-lichaam een niet-zelfdoorsnijdend en niet-isogonaal veelvlak, waarvan elk zijvlak een regelmatige veelhoek is, en dat convex is in de zin dat een lijnstuk tussen twee punten op verschillende zijvlakken, in het inwendige van het lichaam ligt. Behalve gewone convexheid betekent dit dat het veelvlak volledig bepaald wordt door het deel van de ruimte dat het inneemt, zonder ribben waar het oppervlak geen knik vertoont).[1]

De lichamen van Archimedes worden dus niet onder de Johnson-lichamen gerekend, omdat die wel isogonaal zijn.

Dat een Johnson-lichaan niet isogonaal is, blijkt in alle gevallen op één na alleen al uit het feit dat niet steeds dezelfde configuratie van veelhoeken in dezelfde of tegengestelde volgorde samenkomt in de hoekpunten. Alleen bij de gedraaide romboëdrisch kuboctaëder komt steeds dezelfde configuratie van veelhoeken in dezelfde of tegengestelde volgorde samen in de hoekpunten (drie vierkanten en een driehoek), maar toch is het niet mogelijk alle hoekpunten zo op elkaar af te beelden, dat tegelijk ook het lichaam op dezelfde manier blijft liggen. Er is geen isometrie die het veelvlak op zichzelf afbeeldt.[2]

Een voorbeeld van een Johnson-lichaam is een vierkante piramide met gelijke zijden . Het heeft een vierkante basis en vier driehoekige zijvlakken.

Als gevolg van de genoemde convexiteit is in elk hoekpunt het totaal van de hoeken van de bij elkaar komende zijvlakken minder dan 360 graden. Aangezien een regelmatige veelhoek hoeken heeft van ten minste 60 graden, komen er ten hoogste vijf zijvlakken bij een gegeven hoekpunt bij elkaar. De vijfhoekige piramide is een voorbeeld van een Johnson-lichaam met een hoekpunt waarin inderdaad vijf zijvlakken samenkomen.

Aangezien elke ribbe gemeenschappelijk is aan twee van de regelmatige zijvlakken, zijn alle ribben van een Johnson-lichaam even lang.

Hoewel in principe elk soort veelhoek deel kan uitmaken van een Johnson-lichaam, blijkt dat de zijvlakken van Johnson-lichamen alleen maar 3, 4, 5, 6, 8 of 10 zijden hebben. Het aantal zijvlakken kan zijn 5 t/m 18, 20 t/m 22, 24, 26, 27, 30, 32, 34, 37, 42, 47, 52 en 62.

In 1966 publiceerde Norman Johnson een lijst met 92 lichamen en gaf deze hun namen en nummers. Hij bewees niet dat er slechts 92 waren, maar poneerde wel de stelling, die in 1969 door Viktor Zalgaller werd bewezen, dat zijn lijst van 92 Johnson-lichamen uitputtend was.