Speciale unitaire groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de speciale unitaire groep van graad $n$, genoteerd als $\mathrm {SU} (n)$, de groep van unitaire $n\times n$-matrices met determinant 1. De groepsbewerking is die van de matrixvermenigvuldiging. De speciale unitaire groep is een ondergroep van de unitaire groep $\mathrm {U} (n)$ van unitaire $n\times n$-matrices, die zelf weer een ondergroep is van de algemene lineaire groep $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$.

De groepen $\mathrm {SU} (n)$ vinden een brede toepassing in het standaardmodel van de deeltjesfysica, speciaal de $\mathrm {SU} (2)$ in de elektrozwakke wisselwerking en $\mathrm {SU} (3)$ in de kwantumchromodynamica.

Het envoudigste geval, $\mathrm {SU} (1)$, is de triviale groep, die maar één enkel element heeft. De groep $\mathrm {SU} (2)$ is isomorf met de groep van de quaternionen met absolute waarde gelijk aan 1 en diffeomorf met de 3-sfeer. Aangezien eenheidsquaternionen worden gebruikt om driedimensionale rotaties weer te geven, is er een homomorfisme van $\mathrm {SU} (2)$ naar de rotatiegroep $\mathrm {SO} (3)$, waarvan de kern gelijk is aan $\{+I,-I\}$.

Eigenschappen

De speciale unitaire groep $\mathrm {SU} (n)$ is een reële lie-groep van dimensie $n^{2}-1$. Topologisch is de speciale unitaire groep compact en enkelvoudig samenhangend. Algebraïsch is het een enkelvoudige lie-groep. Het centrum van $\mathrm {SU} (n)$ is isomorf met de cyclische groep $\mathbb {Z} _{n}$.

De $\mathrm {SU} (n)$ wordt als algebra gegenereerd door $n^{2}$ operatoren die voor $i,j,k,l=1,2,\ldots ,n$ voldoen aan de commutatorrelatie

$\left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{kl}\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{il}-\delta _{il}{\hat {O}}_{kj}$

In aanvulling hierop moet de operator

${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}$

voldoen aan

$\left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0$,

wat betekent dat het aantal onafhankelijke generatoren van $\mathrm {SU} (n)$ gelijk is aan $n^{2}-1$.

SU(2)

Een algemene $\mathrm {SU} (2)$-matrix heeft de vorm

$U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}$,

waarin $*$ staat voor de complex geconjugeerde en $a$ en $b$ complexe getallen zijn met

$|a|^{2}+|b|^{2}=1$

In de definiërende representatie zijn de generatoren $T_{a}$ proportioneel aan de pauli-spinmatrices $\sigma _{a}$ via:

$T_{a}={\frac {\sigma _{a}}{2}}$

waarin:

$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.

De structuurconstanten voor $\mathrm {SU} (2)$ worden gedefinieerd door het levi-civita-symbool

$f^{123}=1$

De rest kan worden bepaald door antisymmetrie. Alle $d$-waarden verdwijnen.

SU(3)

De generatoren $T$ van $\mathrm {SU} (3)$ worden in de definiërende representatie gegeven door:

$T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}$

waarin de Gell-Mann-matrices $\lambda$ voor $\mathrm {SU} (3)$ het analogon zijn van de pauli-matrix voor $\mathrm {SU} (2)$:

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.

Dit voldoet aan de relaties

$\left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}$

waarin de structuurconstanten worden gegeven door

$f^{123}=1$

$f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\tfrac {1}{2}}$

$f^{458}=f^{678}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$

De $d$-waarden zijn:

$d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}$

$d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}$

$d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\tfrac {1}{2}}$