Speciale unitaire groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de speciale unitaire groep van graad n, genoteerd als SU(n), de groep van n×n unitaire matrices met determinant 1. De groepsbewerking is die van de matrixvermenigvuldiging. De speciale unitaire groep is een deelgroep van de unitaire groep U(n), die uit n×n unitaire matrices bestaat, die zelf weer een deelgroep is van de algemene lineaire groep GL(n, C).

De SU(n) groepen vinden een brede toepassing in het standaardmodel in de natuurkunde, speciaal SU(2) in de elektro-zwakke interactie en SU(3) in de kwantumchromodynamica.

Het simpelste geval, SU(1), is de triviale groep, die slechts een enkel element heeft. De groep SU(2) is isomorf met de groep van de quaternionen met absolute waarde gelijk aan 1, en zijn dus diffeomorf met de 3-sfeer. Aangezien eenheids quaternionen worden gebruikt om rotaties in de driedimensionale ruimte weer te geven, hebben we een surjectief homomorfisme van SU(2) met de rotatiegroep SO(3), wiens kern gelijk is aan \{+I, -I\} \!.

Eigenschappen[bewerken]

De speciale unitaire groep SU(n) is een reële matrix Lie-groep van dimensie n2 − 1. Topologisch is de speciale unitaire groep compact en enkelvoudig samenhangend. Algebraïsch is het een enkelvoudige Lie-groep (dit betekent dat zijn Lie-algebra simpel is; zie onder). Het centrum van SU(n) is isomorf met de cyclische groep Zn. De uitwendige automorfismegroep, voor n ≥ 3, is Z2, terwijl de buiten automorfismegroep voor SU(2) de triviale groep is.

De SU(n) algebra wordt gegenereerd door n2 operatoren, die voldoen aan de commutator relatie (voor i,j,k,l = 1, 2, ..., n)

\left [ \hat{O}_{ij} , \hat{O}_{kl} \right ] = \delta_{jk} \hat{O}_{il} - \delta_{il} \hat{O}_{kj}

In aanvulling hierop moet de operator

\hat{N} = \sum_{i=1}^n \hat{O}_{ii}

voldoen aan

\left [ \hat{N}, \hat{O}_{ij} \right ] = 0

wat impliceert dat het aantal onafhankelijke generatoren van SU(n) n2-1 is.[1]

SU(2)[bewerken]

Een algemene SU(2) matrix heeft de vorm

U = 
\begin{pmatrix}
a&b\\
-b^*&a^*
\end{pmatrix}

Let op * in de tweede rij van de hierboven afgebeelde matrix staat voor de complexe conjugatie operatie en zijn a en b complexe getallen die voldoen aan

|a|^2 + |b|^2 = 1 \!.

In de definiërende representatie zijn de generatoren T_a\, proportioneel aan de Pauli-matrices \sigma_a \, via:

T_a = \frac{\sigma_a}{2} .\,

waar:

\sigma_1 = 
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}, \quad \sigma_2 = 
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix},\quad \sigma_3 = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}.

Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze Hermitische matrices zijn.

De structuurconstanten voor SU(2) worden gedefinieerd door het Levi-Civita-symbool

f^{123} = 1 \,

De rest kan worden bepaald door antisymmetrie. Alle d-waarden verdwijnen.

SU(3)[bewerken]

De generatoren van SU(3), T, worden in de definiërende representatie gegeven door:

T_a = \frac{\lambda_a}{2} .\,

waar \lambda \,, de Gell-Mann-matrices het SU(3) analogon is van de Pauli-matrix voor SU(2):

\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

Merk op dat dit, zoals vereist, allen spoorloze Hermitische matrices zijn.

Dit gehoorzaamt aan de relaties

  • \left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,
waar de f's, zoals eerder gedefinieerd, de structuurconstanten zijn. De waarden worden gegeven door
f^{123} = 1 \,
f^{147} = -f^{156} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = -f^{367} = \frac{1}{2} \,
f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,

De d's hebben de waarden:

d^{118} = d^{228} = d^{338} = -d^{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,
d^{448} = d^{558} = d^{668} = d^{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,
d^{146} = d^{157} = -d^{247} = d^{256} = d^{344} = d^{355} = -d^{366} = -d^{377} = \frac{1}{2} \,

Referenties[bewerken]

  1. R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics (Wiskundige methoden van de kwantumoptica), Springer, 2001.