Ondergroep (wiskunde)

In de groepentheorie verstaat men onder een ondergroep of deelgroep van een gegeven groep G met binaire operatie *, een deelverzameling van G die zelf ook een groep is onder de operatie *.

Preciezer kan men zeggen dat de deelverzameling H van een groep (G,*) een ondergroep van G is als de beperking van * tot HxH een groepsbewerking is op H.

Als de ondergroep H van een groep G gevormd wordt door een echte deelverzameling van G spreekt men van een echte ondergroep. Voor elke groep G is er de triviale ondergroep bestaande uit alleen het eenheidselement.

Voor elk element g van G onderscheiden we de linkernevenklasse van g ten opzichte van H

$gH=\{gh|h\in H\}$

en, analoog, de rechternevenklasse

$Hg=\{hg|h\in H\}.$

Een normaaldeler is een deelgroep waarvan de linker- en rechternevenklassen samenvallen.

Als G een eindige groep is, dan is de orde van H (dat wil zeggen het aantal elementen van H) een deler van de orde van G (Stelling van Lagrange). Het quotiënt tussen de twee is het aantal linkernevenklassen.

Basiseigenschappen van deelgroepen

• H is een deelgroep van de groep G dan en slechts dan als de groep niet-leeg en gesloten is onder vermenigvuldiging en inverses. (De afsluitingscondities houden het volgende in: wanneer a en b in H zijn, dan zijn ab en a⁻¹ ook in H. Deze twee condities kunnen gecombineerd worden tot een equivalente conditie: wanneer a en b in H is, dan is ab⁻¹ ook in H.) In het geval dat H eindig is, dan is H een deelgroep dan en slechts dan als H gesloten is onder vermenigvuldiging. In dit geval genereert elk element a van H een eindige cyclische deelgroep van H, en is de inverse van a gelijk aan a⁻¹ = a^{n − 1}, waar n de orde is van a.)
• De hierbovengestelde conditie kan worden gesteld in termen van homomorfisme; dat is, H is een deelgroep van een groep G dan en slechts dan als H een deelverzameling van G is en er een insluitingshomomorfisme bestaat (dat wil zeggen, i(a) = a voor elke a) van H naar G.
• De identiteit van een deelgroep is de identiteit van de groep: als G een groep is met identiteit e_G, en H is een deelgroep van G met identiteit e_H, dan e_H = e_G.
• De inverse van een element in een deelgroep is de inverse van het element in de groep: als H een deelgroep is van een groep G, en a en b zijn elementen van H zodat geldt dat ab = ba = e_H, dan geldt dat ab = ba = e_G.
• De doorsnede van de deelgroepen A en B is opnieuw een deelgroep. De vereniging van de deelgroepen A en B is dan en slechts dan een deelgroep als of A of B de andere omvat, aangezien bijvoorbeeld 2 en 3 in de vereniging van 2Z en 3Z zitten maar hun som 5 niet.
• Als S een deelverzameling is van G, dan bestaat er een minimale deelgroep die S omvat. Deze minimale deelgroep kan worden gevonden door de doorsnede te bepalen van alle deelgroepen die S bevatten; deze wordt aangeduid met <S> en wordt de deelgroep gegenereerd door S genoemd. Een element van G is in <S> dan en slechts dan als het een eindig product is van elementen van S en hun inverses.
• Elk element a van een groep G genereert een cyclische deelgroep <a>. Als <a> isomorf is met Z/nZ voor enig positief geheel getal n, dan is n het kleinste positieve gehele getal waarvoor geldt dat aⁿ = e, en wordt n de orde van a genoemd. Als <a> isomorf is met Z, dan zegt men dat a van een oneindige orde is.
• De deelgroepen van enig gegeven groep vormen een complete tralie onder insluiting die de tralie van deelgroepen wordt genoemd. (Terwijl de infimum hier de gebruikelijke verzameling-theoretische doorsnede is, is de supremum van een verzameling van deelgroepen de deelgroep die wordt gegenereerd door de verzameling-theoretische vereniging van de deelgroepen, en niet de verzameling-theoretische vereniging zelf.) Als e een identiteit van G is, dan is de triviale groep {e} de minimale deelgroep van G, terwijl de maximale deelgroep de groep G zelf is.

Voorbeeld

Laat G een abelse groep zijn met elementen

G={0,2,4,6,1,3,5,7}

wiens groep operatie hier de optelling modulo acht is. De Cayley tabel van de groep is

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Deze groep heeft een paar niet-triviale ondergroepen: J={0,4} en H={0,2,4,6}, waar J ook een ondergoep is van H. De Cayley-tabel voor H bestaat uit het linkerboven kwadrant van de Cayley tabel voor G. De groep G en de ondergroepen van G zijn cyclische groepen. In het algemeen zijn ondergroepen van cyclische groepen ook cyclisch.

Nevenklassen en de stelling van Lagrange

Gegeven een deelgroep H en een willekeurig element a van de groep G, definiëren we de linkernevenklasse aH = {ah : h in H}. Omdat a inverteerbaar is, is de afbeelding φ : H → aH gegeven door φ(h) = ah een bijectie. Verder maakt elk element van G deel uit van precies één linker nevenklasse van H. De linker nevenklassen zijn de equivalentieklasses die corresponderen met de equivalentierelatie a₁ ~ a₂ dan en slechts dan als a₁⁻¹a₂ in H is. Het aantal linkernevenklassen van H wordt de index van H in G genoemd en wordt aangeduid door [G : H].

De stelling van Lagrange stelt dat voor een eindige groep G en een deelgroep H geldt dat,

$[ G : H ] = { |G| \over |H| }$

waar |G| en |H| de orden van G en H aanduiden. De orde van elke deelgroep van G (en de orde van elk element van G) moet een deler zijn van |G|.

Rechternevenklassen worden op analoge wijze gedefinieerd: Ha = {ha : h in H}. Zij zijn ook equivalentieklassen voor een gepaste equivalentierelatie en hun aantal (de index) is gelijk aan [G : H].

Als aH = Ha voor elke a in G, dan zegt men dat H een normale deelgroep is. Elke deelgroep met index 2 is normaal: de linker- en rechternevenklassen zijn dan simpelweg de deelgroep en het complement daarvan.

Bronnen, noten en/of referenties