Lévyverdeling
In de kansrekening en de statistiek vormen de lévyverdelingen (genoemd naar de Franse wiskundige Paul Lévy) een familie van kansverdelingen met een oneindige verwachtingswaarde.
Definitie
[bewerken | brontekst bewerken]De lévyverdeling met parameters en , is een kansverdeling waarvan de kansdichtheid voor gegeven wordt door:
- .
De parameter is een plaatsparameter en de parameter een schaalparameter.
Verdelingsfunctie
[bewerken | brontekst bewerken]De verdelingsfunctie van de lévyverdeling met parameters en heeft voor de vorm:
waarin de complementaire errorfunctie is.
Standaard-lévyverdeling
[bewerken | brontekst bewerken]De lévyverdeling met parameters en heet de standaard-lévyverdeling. Daarvan is dus de kansdichtheid:
- .
Eigenschappen
[bewerken | brontekst bewerken]De standaard-lévyverdeling behoort, net als de normale verdeling en de cauchyverdeling, tot de familie van de alfa-stabiele verdelingen. Dat houdt in dat de verdeling voldoet aan de voorwaarde dat voor onderling onafhankelijke standaard-lévyverdeelde vaiabelen en zekere geldt:
- ,
(in dit geval is ).
Als een lévyverdeling heeft met parameters en is de gestandaardiseerde vorm standaard-lévyverdeeld.
Momenten
[bewerken | brontekst bewerken]De lévyverdeling heeft geen eindige verwachtingswaarde en variantie, want . Daarmee behoort de lévyverdeling tot de verdelingen met zogenaamde 'zware staarten', die vooral toegepast worden om extreme gebeurtenissen, zoals een beurscrash, te modelleren.
Toepassing
[bewerken | brontekst bewerken]Met de lévyverdeling laten zich verscheidene verschijnselen, in het bijzonder in de natuur, beschrijven, zoals:
- Brownse beweging[1]
- Verloop van de beurskoersen[1]
- Ompoling van het aardmagneetveld[2]
Referenties
[bewerken | brontekst bewerken]- ↑ a b Applebaum, D., Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes (PDF; 282 KB) 37–53. University of Sheffield (22 juli 2010). Geraadpleegd op 13 juni 2014.
- ↑ Dumé, Belle, Geomagnetic flip may not be random after all. physicsworld.com (21 maart 2006). Geraadpleegd op 13 juni 2014.