Groepswerking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Naar navigatie springen Naar zoeken springen
Gegeven een gelijkzijdige driehoek "werkt" de rotatie van 120° rond het midden van de driehoek tegen de klok in op de verzameling van hoekpunten van de driehoek door elke hoekpunt op een andere hoekpunt af te beelden.

In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra en de meetkunde, is groepswerking of groepsactie (group action), een begrip waarmee symmetrieën van wiskundige objecten beschreven kunnen worden met behulp van groepen. Men beschouwt een verzameling wiskundige objecten, en beschrijft de symmetrieën van een wiskundig object door zijn symmetriegroep, die bestaat uit bijectieve transformaties die het object niet veranderen. In dit geval wordt de groep ook wel een permutatiegroep genoemd (als de verzameling eindig is en niet een vectorruimte vormt) of een transformatiegroep (als de verzameling een vectorruimte is en de groep als lineaire transformaties op de verzameling werkt).

Definitie[bewerken | brontekst bewerken]

Een (links)werking of (links)actie van een groep op een verzameling is een homomorfisme van in de symmetrische groep van

.

Omdat de linkswerking van op een homomorfisme is, geldt:

  • , met het eenheidselement van de groep

In sommige gevallen blijkt het handiger een groep van rechts op een verzameling te laten werken.

Een (rechts)werking of (rechts)actie van een groep op een verzameling is een anti-homomorfisme van in de symmetrische groep van

.

Omdat de rechtswerking van op en anti-homomorfisme is, geldt:

  • , met het eenheidselement van de groep.

Men zegt dat de groep (van links, resp. van rechts) op de verzameling werkt.

In plaats van schrijft men vaak eenvoudig , of zelfs voor een linkswerking, en voor een rechtswerking in plaats van eenvoudig of . In deze notatie luiden de genoemde eigenschappen,

voor een linkswerking:

voor een rechtswerking:

Op equivalente wijze kan het begrip werking als volgt gedefinieerd worden.

Een (links)werking van de groep op de verzameling is een afbeelding:

met de volgende eigenschappen:

  • associativiteit:
;
  • met het eenheidselement van de groep correspondeert de identieke afbeelding van
.

Analoog is een (rechts)werking van de groep op de verzameling een afbeelding:

met de volgende eigenschappen:

  • associativiteit:
;
  • met het eenheidselement van de groep correspondeert de identieke afbeelding van
.

Uit de definitie volgt dat voor iedere de functie van naar bijectief is. Wel is het mogelijk dat met meerdere groepselementen dezelfde bijectie correspondeert. Als dit niet het geval is, en dus de afbeelding van in naar in de verzameling bijecties van naar injectief is, dan noemt men de groepswerking faithful of effectief.

Voorbeeld 1[bewerken | brontekst bewerken]

is de verzameling functies van naar , en is een groep van bijectieve transformaties van . De groepswerking wordt gedefinieerd door , of gelijkwaardig door . Het is een homomorfisme van in de symmetriegroep van , waarbij dus met elke bijectie van naar in een bijectie van naar correspondeert.

Voorbeeld 2[bewerken | brontekst bewerken]

Stel , en is een groep van bijectieve transformaties van . De groepswerking is eenvoudig de toepassing van de bijectie op het punt.

Baan[bewerken | brontekst bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie ook Baan (groepentheorie)

Als een groep werkt op een verzameling , is de baan of orbit van een element de deelverzameling van alle beelden van onder de groep:

De verzameling van alle banen als de verzameling doorloopt vormt een partitie van . Als (bovenstaand voorbeeld 2), vormen de banen dus een partitie van de . Is een metrische ruimte en een isometriegroep, dan is soms een belangrijk onderscheid of de banen uit geïsoleerde punten bestaan, of met andere woorden, discrete metrische ruimten zijn.

Voorbeelden[bewerken | brontekst bewerken]

  • is de verzameling isometrieën van {1, 2, 3}, bestaande uit de identiteit en het verwisselen van 1 en 3. . De banen zijn en .
  • is als hierboven. is de verzameling functies van {1, 2, 3} naar {A, B}. De banen zijn, kort genoteerd, {AAB, BAA}, {ABB, BBA}, (AAA), (ABA), {BAB} en {BBB}.
  • is de symmetriegroep van een veelvlak. is de verzameling hoekpunten, ribben of zijvlakken. De banen zijn partities van hoekpunten, ribben of zijvlakken.

Transitiviteit[bewerken | brontekst bewerken]

Een groepswerking is transitief als er maar één baan is. In het voorbeeld van het veelvlak noemt men het veelvlak dan respectievelijk hoekpunttransitief of isogonaal en zijvlaktransitief of isohedraal.

Toepassing[bewerken | brontekst bewerken]

Stel is de euclidische ruimte van een bepaalde dimensie, of een deelverzameling daarvan. Voor het beschrijven van symmetrie van een object op/in (waarbij een "object in " niet verward moet worden met een element van ) kunnen we dat modelleren als een functie, gedefinieerd op , met voor elk punt als functiewaarde een tupel met een of meer eigenschappen zoals kleur, materiaal, temperatuur enz. Zo kan bij de symmetrie van een voorwerp niet alleen de vorm worden betrokken maar ook andere aspecten. Ook kan men bijvoorbeeld bij een situatie zoals een gas in een ruimte symmetrie van druk en temperatuur als functie van positie beschouwen. Voor kan men dan de verzameling van dergelijke functies nemen. Voor kunnen we de symmetriegroep van nemen, en de groepswerking kan worden gedefinieerd als boven. Dit komt erop neer dat als een translatie is, en een voorwerp gegeven wordt door , het overeenkomstig die translatie verschoven voorwerp gegeven wordt door , enz. De symmetriegroep van een voorwerp of situatie beschreven door bestaat dan uit de elementen van waarvoor . Als de indicatorfunctie is van een deelverzameling van , dan is deze symmetriegroep de doorsnede van die van en .

Als de hele ruimte is kunnen we voor nemen de euclidische groep of alleen de directe isometrieën: . In het laatste geval is een baan de verzameling mogelijke posities en standen[1] van een voorwerp (star lichaam in de ruime zin van het woord, hoeft geen 3 te zijn), en correspondeert elke baan met een ander voorwerp.

Bij toevoeging aan het tupel van een in aanmerking te nemen eigenschap zoals kleur, enz. is de symmetriegroep van het voorwerp of de situatie een subgroep van de symmetriegroep zonder die toevoeging.

Zie ook[bewerken | brontekst bewerken]