Diophantische vergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een Diophantische vergelijking een onbepaalde polynomiale vergelijking, waarvan de variabelen alleen gehele getallen mogen zijn. Diophantische problemen hebben minder vergelijkingen dan onbekende variabelen. De oplossing bestaat erin om gehele getallen te vinden, die voor alle vergelijkingen werken. Meer formeel gesproken definieert een oplossing van een Diophantische vergelijking een algebraïsche kromme, een algebraïsch oppervlak of een meer algemeen object. De oplossing zegt wat over de roosterpunten van dit object.

Dit type vergelijkingen is genoemd naar de derde-eeuwse Hellenistische wiskundige Diophantus van Alexandrië (omstreeks 250 n. Chr), die in zijn studies van deze vergelijkingen als een van de eersten symbolen in de algebra introduceerde. De wiskundige studie van Diophantische problemen, die door Diophantos van Alexandrië werd ingeluid, wordt nu de "Diophantische analyse" genoemd. Een lineaire Diophantische vergelijking is een vergelijking tussen twee sommen van eentermen van graad nul of een.

Hoewel individuele Diophantische vergelijkingen al door de hele geschiedenis heen zijn onderzocht, is het formuleren van algemene theorieën van Diophantische vergelijkingen (buiten de theorie van de kwadratische vormen) een twintigste-eeuwse prestatie.

Voorbeelden van Diophantische vergelijkingen[bewerken]

In de onderstaande Diophantische vergelijkingen zijn, x, y, en z onbekenden, de andere gegeven letters zijn constanten.
ax+by=1\, Dit is een lineaire Diophantische vergelijking (zie de sectie "Lineaire Diophantische vergelijkingen" hieronder).
x^n+y^n=z^n \, Voor n = 2 zijn de gehele oplossingen (x,y,z) de Pythagorese drietallen, hiervan zijn er oneindig veel (bijvoorbeeld (3, 4, 5) , (5, 12, 13), ..). Voor n > 2, zegt de laatste stelling van Fermat dat er geen gehele getallen (x, y, z) aan de vergelijking voldoen.
x^2-ny^2=\pm 1\, Deze vergelijking van Pell werd door Euler ten onrechte toegeschreven aan de Engelse wiskundige John Pell (1611-1685), maar deze vergelijking werd reeds eeuwen eerder uitvoerig bestudeerd door Indiase wiskundigen. Fermat bewees dat deze vergelijking altijd een oplossing heeft, behalve wanneer n een kwadraat is. De oplossing is te vinden in een eindig aantal stappen door met behulp van kettingbreuken een benadering van de vierkantswortel van n te zoeken.
\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} Het vermoeden van Erdős–Straus stelt dat er voor elk positief geheel getal n ≥ 2, een oplossing bestaat, waar x, y, en z alle positieve gehele getallen zijn. Hoewel meestal niet in polynomiala vorm geformuleerd, is dit voorbeeld equivalent aan de polynomiale vergelijking 4xyz = yzn + xzn + xyn = n(yz + xz + xy).

Diophantische analyse[bewerken]

Typische vragen[bewerken]

In de Diophantische analyse stelt men over Diophantische vergelijkingen vragen als:

  1. Bestaan er oplossingen?
  2. Bestaan er oplossingen die niet gemakkelijk door onderzoek gevonden kunnen worden?
  3. Bestaat er een eindig of een oneindig aantal oplossingen?
  4. Kunnen in theorie alle oplossingen worden gevonden?
  5. Kan men in de praktijk een volledige lijst van oplossingen berekenen?

Deze traditionele problemen zijn vaak eeuwenlang onopgelost gebleven. Pas geleidelijk aan zijn wiskundigen de diepte van sommige van deze vragen gaan begrijpen. De neiging om deze vragen als puzzels te behandelen is minder geworden.

Diophantische analyse in India[bewerken]

India's bijdrage aan integrale oplossingen van Diophantische vergelijkingen kan men terugvinden in de Sulba Sutra, teksten die door Indiase wiskundigen tussen 800 v.Chr. en 500 v.Chr geschreven zijn. Baudhayana (rond 800 v.Chr.) vond twee verzamelingen van positieve integrale oplossingen voor een verzameling van simultane Diophantische vergelijkingen, en poogde ook simultane Diophantische vergelijkingen met tot vier onbekenden op te lossen. Apastamba (rond 600 v.Chr) probeerde simultane Diophantische vergelijkingen met tot vijf onbekenden op te lossen.

Diophantische vergelijkingen werden later in het middeleeuwse India uitgebreid bestudeerd door wiskundigen, die de eersten waren die systematisch naar methoden zochten om de integrale oplossingen van Diophantische vergelijkingen te bepalen. Systematische methoden voor het vinden van geheeltallige oplossingen van Diophantische vergelijkingen kunnen vanaf de tijd van Aryabhata (rond 499 n.Chr) in Indiase wiskundige teksten worden gevonden. De eerste expliciete beschrijving van de algemene integrale oplossing van de lineaire Diophantische vergelijking ay + bx = c komt men in zijn tekst, de Aryabhatiya, tegen. Dit algoritme wordt beschouwd als een van de belangrijkste bijdragen van Aryabhata aan de zuivere wiskunde. De techniek werd door Aryabhata toegepast om integrale oplossingen van simultane Diophantische vergelijkingen van de eerste orde te vinden, een probleem met belangrijke toepassingen in de astronomie.

Aryabhata beschreef het algoritme in slechts twee strofen van zijn Aryabhatiya. Zijn cryptische verzen werden in de 6e eeuw door Bhaskara I in zijn commentaar Aryabhatiya Bhasya uitgewerkt. Bhaskara I illustreerde de regel van Aryabhata met diverse voorbeelden, waaronder 24 concrete problemen uit de astronomie. Zonder de uitleg van Bhaskara I zou het moeilijk zijn geweest om Aryabhata's verzen juist te interpreteren. Bhaskara I noemde de methode treffend kuttaka (verpulvering). Het idee van de kuttaka werd later door de Indiase wiskundigen in eerste instantie zo belangrijk geacht dat zij hele onderwerp van de algebra aanvankelijk kuttaka-ganita, of simpelweg kuttaka noemden.

Brahmagupta (628) behandelde moeilijkere Diophantische vergelijkingen - hij onderzocht de vergelijking van Pell, en in zijn Samasabhavana legde hij een procedure uit om Diophantische vergelijkingen van de tweede orde, zoals 61x2 + 1 = y2 op te lossen. Deze methoden waren op dat moment in het westen onbekend. Deze zelfde vergelijking werd in 1657 door de Franse wiskundige Pierre de Fermat als een probleem gesteld; de oplossing werd zeventig jaar later door Leonhard Euler gevonden. In India was de oplossing van deze vergelijking echter al eeuwen eerder door Bhāskara II gevonden (rond 1150). Dezelfde wiskundige vond ook de oplossing voor de vergelijking van Pell). Hierbij maakte hij gebruik van een aangepaste versie van de methode van Brahmagupta.

17e en 18e eeuw[bewerken]

In 1637 krabbelde Pierre de Fermat in de marge van zijn exemplaar van de Arithmetica de volgende opmerking: "Het is onmogelijk om een derde macht te scheiden in twee derde machten, of een vierde macht in twee vierde machten, of in het algemeen enige macht hoger dan de tweede macht in twee soortgelijke machten." In modernere taal gesteld, "De vergelijking an + bn = cn heeft geen oplossingen voor enige n groter dan twee." En toen schreef hij, intrigerend: "Hiervoor heb ik een werkelijk schitterend bewijs, de marge van deze bladzijde is echter niet groot genoeg om dit bewijs te bevatten." Een dergelijk bewijs ontging wiskundigen echter eeuwenlang. Als een onbewezen vermoeden, dat pogingen van briljante wiskundigen om de stelling ofwel te bewijzen ofwel te weerleggen generaties lang ontging, werd de stelling bekend als de laatste Stelling van Fermat. Pas in 1994 wist de Britse wiskundige Andrew Wiles de laatste stelling van Fermat te bewijzen.

In 1657 probeerde Fermat de Diophantische vergelijking 61x2 + 1 = y2 (die reeds meer dan 1000 jaar eerder door Brahmagupta was opgelost) te bewijzen. De vergelijking werd uiteindelijk in het begin van de 18e eeuw door Leonhard Euler opgelost. Deze Zwitserse wiskundige slaagde er ook in een aantal andere Diophantische vergelijkingen op te lossen.

Hilberts tiende probleem[bewerken]

In erkenning van hun diepte, classificeerde David Hilbert de oplosbaarheid van alle Diophantische problemen als het tiende van zijn 23 gevierde problemen. Dit tiende probleem van Hilbert werd in 1970 opgelost. De stelling van Matiyasevich, een nieuw resultaat in wiskundige logica, toonde aan dat Diophantische problemen in het algemeen onoplosbaar zijn.

Het standpunt van Diophantische meetkunde, dat wil zeggen de toepassing van technieken uit de algebraïsche meetkunde op dit gebied, is als gevolg hiervan blijven groeien; aangezien de behandeling van willekeurige vergelijkingen een doodlopende weg is, wendde de aandacht zich op vergelijkingen, die ook een meetkundige betekenis hebben. De centrale gedachte van Diophantische meetkunde is die van een rationeel punt, namelijk een oplossing voor een veeltermvergelijking of een systeem van simultane vergelijkingen, een vector in een voorgeschreven veld K, waar K niet algebraïsch gesloten is.

Modern onderzoek[bewerken]

Een van de weinige algemene benaderingen is door middel van het principe van Hasse. De traditionele methode, die van de oneindige afdaling, heeft echter een lange weg afgelegd en is volledig uitgenut.

De diepte van de studie van de algemene Diophantische vergelijkingen blijkt wel uit de karakterisering van Diophantische verzamelingen als recursief aftelbaar. Het algemene probleem van de Diophantische analyse is in andere woorden gezegend of vervloekt (net zo men wil) met universaliteit. Dit houdt in dat algemene Diophantische vergelijkingen in ieder geval niet kunnen worden opgelost door het probleem opnieuw te formuleren in andere termen.

Het onderwerp van de Diophantische benadering gaat over gevallen van Diophantine ongelijkheden. Hier worden de variabelen nog steeds geacht geheeltallig zijn, maar kunnen sommige coëfficiënten irrationele getallen zijn, en wordt het gelijkheidsteken vervangen door de boven- en ondergrenzen.

De meest gevierde vraag in het veld, het vermoeden dat bekendstond als de laatste stelling van Fermat, werd in 1994 opgelost door Andrew Wiles[1]. Wiles maakte hierbij echter geen gebruik van instrumenten uit de getaltheorie, binnen welk deelgebied van de wiskunde het vermoeden oorspronkelijk werd geformuleerd, maar hij benutte integendaal een heel scala van instrumenten uit de analyse, die bijna allen pas in de afgelopen eeuw waren ontwikkeld. Andere belangrijke resultaten, zoals de stelling van Faltings, hebben oude vermoedens uit de weg geruimd.

Lineaire Diophantische vergelijkingen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Stelling van Bachet-Bézout voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Lineaire Diophantische vergelijkingen hebben de vorm

ax + by = c \!

Als c de grootste gemene deler van a en b is dan is dit de identiteit van Bezout en heeft de vergelijking een oneindig aantal oplossingen. Deze kunnen worden gevonden door het uitgebreid algoritme van Euclides toe te passen. Hieruit volgt dat deze identiteit ook een oneindig aantal oplossingen heeft, als c een veelvoud is van de grootste gemene deler van a en b. Als c geen veelvoud van de grootste gemene deler van a en b is, dan heeft de Diophantische vergelijking ax + by = c geen oplossingen.

Exponentiële Diophantische vergelijkingen[bewerken]

Wanneer een Diophantische vergelijking extra variabele(n) heeft in de vorm van exponenten, noemt men dit een exponentiële Diophantische vergelijking. Een voorbeeld hiervan is de vergelijking van Ramanujan-Nagell, 2n -7 = x2. Dergelijke vergelijkingen kennen geen algemene theorie; voor specifieke gevallen, zoals het vermoeden van Catalan heeft men een oplossingsmethode gevonden, maar voor de meerderheid van de gevallen heeft men alleen door middel van ad-hocmethoden, zoals de stelling van Størmer of zelfs door trial-and-error, oplossingen kunnen vinden.

Externe links[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • (en) Mordell, L. J, Diophantine equations, Academic Press, 1969, ISBN 0-12-506250-8.
  • (en) Schmidt, Wolfgang M., Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 2000
  • (en) T. N. Shorey, R. Tijdeman, Exponential Diophantine equations, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 87, Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-26826-5.
  • (en) N.P. Smart, The algorithmic resolution of Diophantine equations, London Mathematical Society Student Texts, vol 41, Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-64156-X.

Voetnoten[bewerken]

  1. Oplossen Fermat: Andrew Wiles