Genus (wiskunde)
In de wiskunde heeft het begrip genus een aantal verschillende, maar nauw-verwante betekenissen.
Inhoud |
Topologie [bewerken]
Oriënteerbaar oppervlak [bewerken]
De genus van een samenhangend oriënteerbaar oppervlak is een geheel getal dat het maximum aantal uitsnedes voorstelt langs gesloten simpele krommes zonder dat de resulterende variëteit omsamenhangend wordt. De genus is gelijk aan het aantal handvatten op de variëteit. In alternatieve woorden kan de genus in termen van de Euler-karakteristiek χ worden via the relatie χ = 2 − 2g voor gesloten oppervlakken worden gedefinieerd, waar g de genus is. Voor oppervlakken met b grenscomponenten, leest de vergelijking als volgt
- χ = 2 − 2g − b
Bijvoorbeeld:
- Een sfeer, schijf en cirkelring hebben alle genus nul.
- Een torus heeft genus één, net zoals het oppervlak van een theekopje met één oortje.
Een expliciete constructie van oppervlaken van genus g wordt gegeven in het artikel over de fundamentele veelhoeken.
- Genus van orienteerbare oppervlakken
-
genus 0
-
genus 1
-
genus 2
-
genus 3
Niet-oriënteerbaar oppervlak [bewerken]
De (niet-oriënteerbare) genus van een samenhangende, niet-oriënteerbare gesloten oppervlak is een positief geheel getal dat het aantal kruiskappen weergeeft dat is vastgemaakt aan een sfeer. In alternatieve termen kan een gesloten oppervlak worden gedefinieerd in termen van de Euler-karakteristiek χ, via the relatie χ = 2 − k, waar k de niet-oriënteerbare genus is.
Bijvoorbeeld:
- Een projectief vlak heeft een niet-oriënteerbare genus van twee een.
- Een Kleinfles heeft een niet-oriënteerbare genus van twee.
Knoop [bewerken]
De genus van een knoop K wordt gedefinieerd als de minimale genus van alle Seifert-oppervlakken voor K. Een Seifert-oppervlak van een knoop is echter een variëteit met grens, waar de grens de knoop is, dat wil zeggen homeomorf aan de eenheidscirkel. De genus van een dergelijk oppervlak wordt gedefinieerd als de genus van de twee-variëteit, die wordt verkregen door de eenheidsschijf langs de grens te lijmen.
Algebraïsche meetkunde [bewerken]
Er zijn twee gerelateerde definities van genus van enige projectieve algebraïsche schema X: de rekenkundige genus en de meetkundige genus. Wanneer X een algebraïsche kromme met als definitieveld de complexe getallen, en als X geen singuliere punten heeft, dan komen deze beide definities overeen en vallen zij samen met de topologische definitie, die wordt toegepast op het Riemann-oppervlak van X (zijn variëteit van complexe punten). De definitie van een elliptische kromme uit de algebraïsche meetkunde is een niet-singuliere kromme van genus 1 met een gegeven punt op de kromme.
