Global positioning system

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Nuvola single chevron right.svg Dit artikel gaat specifiek over het satellietplaatsbepalingssysteem gps. Voor een algemene beschrijving, zie Satellietnavigatie.
Gps-satelliet
Enkele gps-ontvangers
Gps-ontvanger op een motorfiets

Global positioning system (gps) is de commerciële naam voor een wereldwijd satellietplaatsbepalingssysteem dat vanaf 1967 werd ontwikkeld voor gebruik door de strijdkrachten van de Verenigde Staten.

Geschiedenis[bewerken]

Officieel heet het systeem nog steeds NAVigation Satellite Time And Ranging of NAVSTAR. Met gps werd het voor het eerst mogelijk om vrijwel overal continu te kunnen navigeren. Gps was tot de komst van GLONASS, BeiDou en Galileo het enige volledig operationele satellietplaatsbepalingssysteem. Het incident met de Korean Air-vlucht 007 in 1983, waarbij een Amerikaans senator omkwam, zorgde ervoor dat president Ronald Reagan gps vrijgaf voor civiel gebruik.

Het aantal toepassingen is sinds de vrijgave enorm toegenomen. Aanvankelijk waren de gebruikers vooral te vinden in de militaire hoek, de geodesie en de scheepvaart. Hoewel het aantal gebruikers ook daar is toegenomen, valt dit tegenwoordig in het niet bij het aantal auto's en mobiele telefoons die met gps zijn uitgerust. Het belang van gps is dusdanig gegroeid dat de Europese Unie besloten heeft zijn eigen systeem — Galileo — te lanceren, om niet afhankelijk te zijn van de Verenigde Staten.

De eerste experimentele satelliet werd in 1978 gelanceerd en in 1995 werd het systeem officieel operationeel verklaard, hoewel het daarvoor al werd gebruikt voor navigatie.

Kenmerken[bewerken]

Het zendgedeelte van het systeem bestaat uit minimaal 24 werkende satellieten (21 + 3 reserve) die in zes vaste banen, in een vaste tijd rond de aarde draaien en elk een eigen signaal uitzenden. De nauwkeurigheid varieert, afhankelijk van het gebruikte systeem en de omstandigheden, van enkele tientallen meters tot 1 à 2 meter.

Met de ontvangst van minimaal vier van deze satellieten kan een gps-ontvanger zijn positie op aarde bij benadering (op circa 10 m nauwkeurig) bepalen ten opzichte van het geodetisch datum WGS 84.

Het gps-systeem is 24 uur per dag in bedrijf, nagenoeg overal ter wereld bruikbaar en werkt onder alle weersomstandigheden. Het is een militair systeem dat de overheid van de Verenigde Staten (met beperkte nauwkeurigheid) aan iedereen beschikbaar stelt. Het gps-systeem is geschikt voor plaatsbepaling voor navigatiedoeleinden, geodetische puntbepaling en geografische informatiesystemen, en ook voor nauwkeurige tijdsbepaling.

Bij gps is de satelliet altijd de zender, de gps-ontvanger is altijd de ontvanger (op aarde). Volgen wordt mogelijk wanneer de persoon of het voorwerp/voertuig dat gevolgd wordt niet alleen een gps-ontvanger heeft maar ook een vorm van zender die eraan gekoppeld is. Verschillende technologieën zijn daartoe in gebruik, waarbij de zogenaamde push-technologie, in de vorm van een sms-zender, het meest verbreid is. Galileo waaraan in opdracht van de Europese commissie gewerkt wordt, zal echter bidirectioneel (zowel zenden als ontvangen) zijn.

Plaatsbepaling[bewerken]

Gps gebruikt 32 (bij opstart 24) verschillende satellieten die elk in een van de zes banen op 20.200 km hoogte cirkelen. Deze banen zijn zodanig samengesteld dat vanaf elke plaats op aarde altijd minstens vier satellieten waarneembaar zijn.

Het meetprincipe van het Global Positioning System is gebaseerd op de afstandsmeting tussen satelliet en ontvanger en het bekend zijn van de positie van de satelliet. De afstanden tussen de satelliet en de ontvanger worden uit de gemeten looptijden van radiogolven afgeleid.

Verschuiving van de pseudorange met de klokfout tot de ware afstand.

De looptijd wordt bepaald door de pseudo-random code van de satelliet te vergelijken met een door de ontvanger opgewekte code. De looptijd veroorzaakt een faseverschil tussen deze twee codes die door de ontvanger omgerekend wordt tot looptijd en met de voortplantingssnelheid van het signaal tot de afstand tot de satelliet, de pseudo-afstand (pseudo slant range, PSR). Deze berekende afstand bevat nog fouten, zoals de klokfout in de ontvanger en atmosferische storingen.

Aangezien de satelliet zeer nauwkeurige atoomklokken (2 rubidium- en 2 cesiumklokken, elk met een verwachte levensduur van anderhalf jaar) heeft, is de satellietpositie te berekenen uit de baanvoorspelling in de navigatieboodschap en de satelliettijd. De ontvanger kan daarna een bol met de straal PSR berekenen waarop men zich bevindt. Snijding met de bol van een tweede satelliet levert een cirkel op en snijding met een derde levert twee punten op, waarvan een zich ver weg van de aarde bevindt en daarom verworpen kan worden. Als er geen fouten zouden zijn, dan zou een vierde bol ook in dit punt snijden. Als er wel fouten zijn, dan moet de PSR gecorrigeerd worden. Deze correctie is een maat voor de klokfout. Hiermee vervalt de noodzaak om de ontvanger met een dure atoomklok uit te rusten. Voor het hele systeem geldt: hoe meer satellieten, hoe nauwkeuriger de positie berekend kan worden. Daarnaast is niet enkel het aantal satellieten, maar ook hun onderlinge positie kenmerkend voor de nauwkeurigheid.

Signalen[bewerken]

Elke satelliet zendt op meerdere draagfrequenties uit, waarvan L1 (1,57542 GHz) en L2 (1,2276 GHz) de belangrijkste zijn. Hoewel alle satellieten gebruik maken van dezelfde frequenties, kan door CDMA bepaald worden van welke satelliet een signaal afkomstig is. Op elke draagfrequentie wordt een signaal gecodeerd met een pseudorandom noise (PRN) die voor elke satelliet uniek is. Op L1 wordt zowel een Coarse Acquisition (C/A)-code als een Precise (P)-code gezet. Op L2 wordt alleen de P-code gezet. De informatie van beide codes bestaat uit bits, hier chips genoemd. De chiprate is 1,023 MHz voor de C/A-code, 10,23 MHz voor de P-code en 50 Hz voor de navigatieboodschap.

De navigatieboodschap.

Op beide codes wordt de navigatieboodschap gezet die informatie bevat over de baanvoorspelling, de atmosferische propagatiecorrecties en de onderlinge synchronisatie van de satellietklokken. De navigatieboodschap bestaat uit 25 dataframes, elk bestaand uit 1500 bits en onderverdeeld in 5 subframes van 300 bits, waardoor het aan een frequentie van 50 Hz 12,5 minuut duurt om de hele boodschap binnen te krijgen.

De navigatieboodschap bevat ook een handover word (HOW) en een telemetry word. In het HOW wordt de fase van de P-code bij benadering gegeven, zodat de ontvanger sneller de P-code kan volgen. Aangezien de P-code een periode heeft van zeven dagen, zou het zonder HOW maximaal een week kunnen duren alvorens de P-code verkregen is. Het telemetry word bevat een vast canvas dat door de ontvanger gebruikt wordt voor de uitvoering en de permanente controle van de synchronisatie tijdens decodering.

Andere frequenties zijn L3 voor NDS om kernexplosies waar te nemen en L4 om ionosfeercorrecties te kunnen bepalen.

De gewenste binaire code wordt met BPSK op de draaggolf gemoduleerd.

De codes worden met behulp van fasemodulatie — specifiek BPSK — op de draagfrequentie gezet met een faseverschil van 90º tussen de C/A-code en de P-code. De C/A-code herhaalt zich elke milliseconde en de P-code elke zeven dagen.

Looptijdmeting[bewerken]

Nadat de ontvanger heeft vastgesteld welke satellieten zich boven de horizon bevinden — uit de eigen almanak of die in de navigatieboodschap — zal deze de dopplerverschuiving vaststellen. De ontvanger genereert een carrier-tracking loop en verschuift de frequentie daarvan net zolang tot deze overeenkomt met die van de satelliet. De hierbij gevonden dopplerverschuiving is een maat voor de relatieve snelheid tussen satelliet en ontvanger, waarmee de snelheid van de ontvanger kan worden vastgesteld.

Deze snelheid wordt gebruikt door de code-tracking loop, waarbij de ontvanger zelf een C/A-code genereert. Met behulp van autocorrelatie wordt deze vergeleken met die van de satelliet. Als de codes niet gelijk zijn, verschuift de ontvanger zijn code met een bit. Dit wordt herhaald tot de codes over elkaar vallen of tot deze met alle 1023 bits van de PRN-code verschoven is. De gevonden faseverschuiving is een maat voor de looptijd. Zodra de frequentie- en faseverschuiving heeft plaatsgevonden, kan de navigatieboodschap gelezen worden en kunnen de pseudoranges worden vastgesteld.

Nauwkeurigheid[bewerken]

Er zijn twee verschillende nauwkeurigheidsniveaus bij gps; voor militair gebruik is er de Precise Positioning Service (PPS) en voor gewoon gebruik is er de Standard Positioning Service (SPS). Waar SPS alleen gebruik maakt van de C/A-code op het L1-signaal, maakt PPS ook gebruik van de P-code om een hogere nauwkeurigheid te verkrijgen.

De nauwkeurigheid of R95 van SPS bedraagt zo’n 20 meter; met statistische technieken — herhaald meten met verschillende satellieten of meten over langere tijd — of met referentiestations is de nauwkeurigheid verder op te voeren. Met behulp van het dopplereffect is het mogelijk snelheden te meten. Een belangrijk nadeel is dat meteorologische verschijnselen het tijdsignaal kunnen vertragen, waardoor een fout ontstaat.

Indien er een hogere precisie nodig is dan welke gps kan bieden kan DGPS en/ of WAAS (Noord-Amerika)/ EGNOS (Europa) worden gebruikt.

Opzettelijke degradatie van de nauwkeurigheid[bewerken]

Omdat er al rond 1989 civiele ontvangers waren die gebruik maakten van de P-code, werd besloten om met cryptografische methodes de nauwkeurigheid voor civiele gebruikers te verslechteren. Met Anti-Spoofing (A-S) werd de P-code vanaf 31 januari 1994 versleuteld met de W-code tot de Y-code. Alleen militaire ontvangers kunnen deze ontcijferen en zo de informatie van de P-code gebruiken. Er zijn echter wel civiele ontvangers die de P-code gebruiken door deze te vergelijken tussen L1 en L2. De invloed van atmosferische storingen is niet gelijk voor verschillende frequenties, zodat deze vergelijking een idee geeft van de mate van storing die optreedt.

De nauwkeurigheid die met alleen het gebruik van de C/A-code bereikt werd, was echter beter dan verwacht, zodat werd besloten om met behulp van Selective Availability (SA) het signaal verder te verslechteren. De R95 zou hiermee naar 100 meter moeten worden gebracht. Dit werd bereikt door het epsilon-proces – de verslechtering van de baanvoorspelling in het navigatiebericht – en het delta-proces of dithering – de destabilisatie van de satellietklok. De fout wordt gemaskeerd door het verlopen van de fout langzaam te laten gebeuren en de fout wordt over een groot gebied exact gelijk gehouden waardoor de fout moeilijk terug te rekenen is.

Tijdens de Golfoorlog in 1990-'91 waren weinig militaire ontvangers beschikbaar; veel militairen gebruikten civiele modellen, daarom werd tijdens de Golfoorlog de SA uitgezet om militairen met een civiele ontvanger toch van het nauwkeurige signaal gebruik te laten maken.

Vanaf 1 mei 2000 heeft het burgersignaal een grote nauwkeurigheid gekregen doordat de gegenereerde fout op nul gesteld werd. Eigenlijk zou deze opdracht van president Bill Clinton pas in 2006 in werking treden, maar het Amerikaanse leger bezat al in 2000 de mogelijkheid om het gps-signaal voor een groot gebied onbruikbaar te maken voor niet-militaire ontvangers.

Op 19 september 2007 maakte het Amerikaanse ministerie van defensie bekend dat toekomstige GPS III-satellieten geen Selective Availability zullen hebben.[1] waardoor het beleid in feite permanent wordt.[2]

Fouten[bewerken]

Naast de eventuele bewuste verslechtering van de kwaliteit zijn er andere factoren die de nauwkeurigheid beïnvloeden. Er zijn verschillende soorten fouten. Meetfouten kunnen bestaan uit toevallige en systematische fouten. Daarnaast zijn er nog blunders; fouten die optreden door verkeerde gegevensinvoer door de gebruiker — zoals antennehoogte of gis — geblokkeerde satellieten, hoogspanningslijnen en sterk magnetische objecten.

Onderscheid kan ook worden gemaakt naar fouten die optreden in de verschillende onderdelen van het systeem; het ruimtesegment, het medium, het gebruikerssegment en het controlesegment. Dit zijn de User Equivalent Range Errors (UERE). De fouten die optreden ten gevolge van de onderlinge stand van de satellieten ten opzichte van de ontvanger — de constellatie — is de Geometric Dilution of Precision (GDOP). Aangezien beide continu variëren, wordt aangenomen dat deze optreden volgens een normale verdeling. De grootte van de UERE is uit te drukken als standaardafwijking σ, ook wel R68 genoemd, aangezien 68% van de waarnemingen binnen deze radius — feitelijk een ellips — vallen. De totale nauwkeurigheid wordt uitgedrukt in 3D als User Navigation Error (UNE):

UNE = UERE \cdot PDOP

In 2D wordt dit aangegeven als User Horizontal Navigation error (UNHE):

UNHE = UERE \cdot HDOP

De R95 of Estimated Position Error (EPE) is ongeveer 2σ of 2 maal de R68 van UNHE.[3]

De UERE bestaat uit de User Range Error (URE) en de User Equipment Error (UEE). DE URE beslaat het ruimtedeel en bevat de fouten bij:

Deze fouten kunnen grotendeels gecorrigeerd worden met behulp van differentiaal- en multifrequentietechnieken (DGPS en L1/L2-vergelijkingen).

De UEE bestaat uit de fouten bij de ontvanger:

De eerste drie zijn te verbeteren met betere ontvangers, de laatste twee zijn invoerfouten.

Daarnaast wordt gecorrigeerd voor:

De eenheden waarin de nauwkeurigheid wordt weergegeven, kan per fabrikant verschillen. Veel gebruikt is circular error probable (CEP), maar R68, R95 en rms (Root Mean Square, kwadratisch gemiddelde) komen ook voor.

Ruimtesegment[bewerken]
Constellatie[bewerken]
De snijding boven levert een grotere nauwkeurigheid op dan die beneden.

De stand van de satellieten ten opzichte van de waarnemer - de constellatie - is van invloed op de theoretisch maximaal haalbare positienauwkeurigheid. Zoals uit de afbeelding blijkt is de invloed van een afwijking kleiner hoe haakser positielijnen of pseudoranges elkaar snijden. Bij vier satellieten is de beste spreiding met drie aan de horizon op 120º van elkaar en een in de zenit, recht boven de ontvanger.

Aangezien bekend is hoe de satellieten zich bewegen, kan dit worden vastgelegd in een zogenaamde almanak. Op basis daarvan is de dimensieloze geometric dilution of precision (GDOP) of geometrische spreiding van precisie uit te rekenen. Deze GDOP is dus niet afhankelijk van de kwaliteit van het signaal en de ontvanger.

De GDOP is uit te drukken in DOP's voor verschillende dimensies. De Vertical Dilution of Precision (VDOP) geeft de verticale afhankelijkheid van de constellatie aan en de Horizontal Dilution of Precision (HDOP) de horizontale afhankelijkheid. Tezamen geeft dit de Position Dilution of Precision (PDOP) die met de Time Dilution of Precision (TDOP) de GDOP geeft. De best mogelijke spreiding geeft een DOP van 1, zodra deze verslechtert, wordt deze groter. Aangezien de aarde altijd de satellieten onder de waarnemer blokkeert, is de verticale precisie altijd minder dan de horizontale.

Loopbaanafwijkingen[bewerken]

De baan van een satelliet wijkt af van de keplerbaan doordat de massa van de aarde en daarmee de zwaartekrachtspotentiaal niet homogeen verdeeld is en door baanverstoringen. Baanverstoringen treden op door excentrische zwaartekracht, de zwaartekracht van andere hemellichamen, atmosferische weerstand, zonnewinddruk, magnetische krachten en variërende zwaartekracht door getij en getijdenkrachten op de aarde zelf.

Satellietklokafwijkingen[bewerken]

Hoewel de atoomklokken in de satellieten zeer nauwkeurig zijn, hebben ook deze hun afwijkingen en kan resulteren in een positiefout van enkele meters. Om die reden worden de afwijkingen door de grondstations geobserveerd en meegestuurd in de navigatieboodschap, al is daarmee de fout niet volledig te corrigeren.

Controlesegment[bewerken]

Het controlesegment van het gps-systeem bestaat uit een wereldwijd netwerk van volgstations, met een master control station (MCS) in de Verenigde Staten in Colorado Springs, Colorado. De primaire taak van het controlesegment is volgen van de gps-satellieten om de positie vast te stellen en te voorspellen, het effect van de atmosferische omstandigheden te bepalen, de satellietstatus te controleren en de navigatieboodschap aan te passen. Deze informatie wordt daarna naar de gps-satellieten verstuurd.

Medium[bewerken]
Atmosferische effecten[bewerken]

Nu de opzettelijke fout (SA) is afgeschaft, wordt de grootste foutenbron die bij gps overblijft veroorzaakt door de ionosfeer. Door de vrije elektronen vertraagt de modulatie op het signaal, afhankelijk van de frequentie van de draaggolf 1 / f2.

De fase van de draaggolf wordt hierbij in dezelfde mate vervroegd. Dit effect kan bij de evenaar en de polen behoorlijk variëren, daartussen is het redelijk constant. Dit effect kan gecorrigeerd worden aan de hand van een in de ontvanger opgeslagen model. Geavanceerde ontvangers meten het verschil tussen de ontvangsttijd van L1 en L2 om de grootte van het effect te bepalen.

In de tropsfeer wordt de lichtsnelheid vertraagd door variaties in temperatuur, luchtdruk en luchtvochtigheid. De refractie die hierdoor optreedt is het grootst bij de horizon, aangezien de afgelegde weg van het signaal door de troposfeer hier groter is. Om deze reden kan bij veel ontvangers worden ingesteld dat satellieten dicht bij de horizon niet gebruikt worden. Dit effect kan niet worden gemeten door L1 en L2 te vergelijken.

Gebruikerssegment[bewerken]
Meerwegontvangst[bewerken]

Fouten door meerwegontvangst kunnen ontstaan als radiogolven van een satelliet via meerdere wegen de ontvanger bereiken, via reflectie tegen gebouwen of bergen. De gebruikte frequenties minimaliseren dit effect, doordat de verspreiding van de gereflecteerde signalen de signaalsterkte van deze verzwakken.

Looptijdmeting[bewerken]
Ontvangerruis[bewerken]
Gis[bewerken]
Antennehoogte[bewerken]

Relativiteitstheorie en tijdsdilatatie[bewerken]

Een relevant effect op de tijdsbepaling van satellieten, is het fenomeen tijdsdilatatie, een begrip uit de algemene relativiteitstheorie dat impliceert dat snel bewegende klokken langzamer tikken. Dit effect moet voor een goede tijdsbepaling van satellieten in rekening gebracht worden.

Onderdelen[bewerken]

Simulatie van het originele ontwerp van het "GPS space segment" met 24 gps-satellieten

De afstandsmeting bij dit systeem komt tot stand doordat het tijdstip van vertrek met het gps-signaal wordt meegezonden en de gps-ontvanger de aankomsttijd meet. Het verschil tussen de vertrektijd en de aankomsttijd van het signaal noemt men de looptijd. Het systeem kan onderverdeeld worden in drie componenten, namelijk: het ruimtesegment, het gebruikerssegment en het controlesegment.

  • Tot het ruimtesegment behoren de satellieten die door Delta-raketten vanaf Cape Canaveral in Florida gelanceerd worden. Gps-satellieten draaien in circulaire banen rond de aarde op 20.200 km hoogte, elke ronde duurt 11 uur en 58 minuten. De banen zijn gekanteld ten opzichte van de evenaar met 55º om de dekking in het poolgebied te garanderen. Aangedreven door zonnecellen corrigeren de satellieten zich voortdurend door de zonnecellen richting de zon en de antennes richting de aarde te keren. Elke satelliet heeft drie of vier atoomklokken.
  • Het controlesegment bevat het 'Master Control Station' (MCS) op Schriever Air Force Base (vroeger "Falcon Air Force Base") in Colorado Springs, VS. Vroeger bevond het MCS zich in Vandenberg Air Force Base in Californië. Verder zijn er gewone controlestations (Master Stations of MS) op Schriever Air Force Base, Hawaï, Ascension in de Atlantische Oceaan, Diego Garcia in de Indische Oceaan en Kwajalein Island in de Grote Oceaan. Hiermee is elke satelliet continu binnen het bereik van minstens één controlestation. De MS bestaan elk uit 2 atoomklokken, ontvangers die iedere anderhalve seconde de militaire code decoderen en hebben een parallelle verbinding met alle zichtbare satellieten. De metingen die verzameld zijn door de controlestations worden gebruikt om het gedrag te bepalen van elke satelliet(-baan) en de klokinstelling. Voorspelde tijd- en baangegevens worden vergeleken met de daadwerkelijk uitgezonden data. Zo nodig krijgt een satelliet correctieopdrachten vanaf een station. Het controlesegment heeft ook tot taak er voor te zorgen dat de gps-satellietbanen en klokafwijkingen binnen de vastgestelde limieten blijven.
  • Met het gebruikerssegment werden oorspronkelijk de militaire ontvangers bedoeld. Militaire gps-systemen zijn opgenomen in: straaljagers, bommenwerpers, tankvliegtuigen, helikopters, schepen, onderzeeërs, tanks, jeeps en individuele soldaatuitrustingen. Tot het militaire gebruik behoren ook doelbepalingen, 'smart'-wapens en rendez-vous-plekken. Later zijn daar gps-ontvangers voor civiele gebruikers bijgekomen.

Toepassingen[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Satellietplaatsbepaling

Implicaties[bewerken]

Militaire implicaties[bewerken]

Het systeem is opgezet door de VS voor militair gebruik. Het bezit voldoende nauwkeurigheid om het systeem te gebruiken voor het leiden van ICBM's, kruisraketten en andere "slimme" wapens, zodat doelen nauwkeuriger kunnen worden beschoten.

Politieke implicaties[bewerken]

De bruikbaarheid van alle toepassingen ligt volledig bij de autoriteit van degene die het systeem beheert. De EU is daarom, ondanks protesten van de VS, al bezig met een eigen Europees satellietnavigatiesysteem Galileo. Hiernaast heeft de EU vanaf 2004 een netwerk ontworpen zodat de nauwkeurigheid en integriteit van gps in Europa nog wordt vergroot, dit systeem heet EGNOS. Er bestaat ook een Russisch satellietnavigatiesysteem; GLONASS (GLObal NAvigation Satellite System).

Vergelijking met andere systemen[bewerken]

Gps GLONASS Galileo
Totaal aantal satellieten min. 24 + 3 24 27 + 3
Omlooptijd 11 uur 58 minuten 11 uur 15 minuten 14 uur 22 minuten
Hoogte 20200 km 19100 km 23616 km
Max. geografische breedte 55° 60° 60°
Aantal banen 6 3 3
Satellieten per baan 4 8 10
Inclinatie 55° 120° 120°
Afstand tussen de banen 60° 120° 120°
Frequenties L1: 1575,42 MHz
L2: 1227,60 MHz
L5: 1176,45 MHz (modernisering)
Satellietafhankelijk
1246-1257 MHz
1602-1616 MHz
3 frequenties
Modulatie CDMA FDMA CDMA
Coördinaten systeem WGS84 PZ90.02 GTRF
Referentietijd GPS-tijd = TAI - 19 seconden UTC + 3 uur TAI[bron?]

Zie ook[bewerken]

Voetnoten

  1. DoD Permanently Discontinues Procurement Of Global Positioning System Selective Availability. DefenseLink (18 september 2007) Geraadpleegd op 2008-02-20
  2. Selective Availability. National space-based Positioning, Navigation, and Timing Executive Committee Geraadpleegd op 2008-02-20
  3. Dat 68% van de waarnemingen binnen de normale verdeling σ ligt, is voor driedimensionale toepassingen niet geheel correct, aangezien dit voor eendimensionale normale verdelingen geldt. Voor twee- en driedimensionale toepassingen geldt de multivariate normale verdeling.

Literatuur