Beschrijvende meetkunde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Voorbeeld van vier verschillende 2D representaties van hetzelfde 3D-object.

Beschrijvende meetkunde, in Vlaanderen ook wel wetenschappelijk tekenen genoemd, is een tak van de meetkunde die zich bezighoudt met de representatie van driedimensionale objecten in twee dimensies, door het gebruik van specifieke procedures.

De beschrijvende meetkunde is in de 18e eeuw ontwikkeld door de Franse wiskundige en staatsman Gaspard Monge.[1] In 19e en 20e eeuw werd de beschrijvende meetkunde de grondslag voor het architecturale en industriële technisch tekenen.[2]

Overzicht[bewerken]

De beschrijvende meetkunde is de tak van de wiskunde die leert hoe voorwerpen, die zich in de ruimte bevinden, op een plat vlak worden voorgesteld en omgekeerd. Hoe men uit zulke voorstellingen de ware gedaante en grootte van het voorwerp kan leren kennen.[3] Beschrijvende meetkunde is ook wel genoemd de kunst om ruimtelijke lichamen op een plat vlak voor te stellen. Ze kan tot de elementaire meetkunde gerekend worden, terwijl de hogere meetkunde zich bezighoudt met de beschouwing en de betrekkingen van allerlei kromme lijnen.

De beschrijvende meetkunde was van oorsprong een omvangrijk en logisch geheel van voorschriften voor het maken van technische tekeningen rond de orthogonale projectie. Hiernaast zijn verschillende varianten van projectiemethoden ontwikkeld, en enige abstracte theorie zonder directe verwijzing naar allerlei toepassingsmogelijkheden. De verschillen tussen de projectiemethoden bestaan voornamelijk in de eigenschappen van de projecterende lijnen: loodrecht op het projectievlak, scheefhoekig, met het centrum op oneindig of uit een eindig punt.[4]

De beschrijvende meetkunde stelt werktuigbouwkundige en bouwkundige ontwerpers in staat om hun ideeën en ontwerpen door een tekening voor te stellen. Dergelijke tekeningen kunnen door de ontwerper zelf of door anderen aan nauwkeurig onderzoek worden onderworpen en waar nodig worden verbeterd. Sinds haar ontwikkeling is de beschrijvende meetkunde ook vaak gezien als een middel om het verstand en de verbeeldingskracht te oefenen en te versterken.[3]

In Vlaanderen is wetenschappelijk tekenen de gebruikelijke benaming voor beschrijvende meetkunde. Het houdt een universele tekentaal in, die de gebruiker toelaat om op een wetenschappelijk verantwoorde wijze technische en/of ruimtelijke ideeën uit te werken, informatie vast te leggen en ondubbelzinnig door te geven. De normen ervan liggen wereldwijd vast, zodat een tekening die gemaakt is volgens de regels van het wetenschappelijk tekenen, over de gehele wereld eenduidig wordt begrepen. Je kan het vergelijken met wiskunde, waar de formules door alle wiskundigen ter wereld worden begrepen. De grondlegger ervan is de Franse wiskundige Gaspard Monge (1746-1818).

Geschiedenis[bewerken]

Met de opkomst van de Renaissance en haar behoefte de wereld natuurgetrouw af te beelden, ontstond in 15e en 16e eeuw het begrip van perspectief en projectie. Hieromheen kwam een meetkunde tot bloei, de zogenaamde projectieve meetkunde, vooral onder invloed van de 17e-eeuwse wiskundigen Girard Desargues en Blaise Pascal.[5] Aan het eind van de 18de eeuw werd de beschrijvende meetkunde ontwikkeld tot een omvangrijk en logisch geheel van voorschriften voor het maken van technische tekeningen. Hierbij werkte Amédée-François Frézier (1682-1773) de orthogonale projectie uit tot een samenhangend systeem. Het was echter nog geheel gericht op de praktische toepassingen.[4]

Bij de perspectivische projectie van een ruimtelijk object op een plat vlak worden over het algemeen de werkelijke grootten van lengte en hoeken niet bewaard. Om dit wel te bewerkstelligen bedacht Gaspard Monge (1746-1818) de bijzondere projectietechniek van de beschrijvende meetkunde. In het boek Géométrie Déscriptive uit 1798 presenteerde hij een nieuwe methode om ruimtelijke voorwerpen systematisch en exact te beschrijven. Hij voegde de verschillende projectiemethoden bij elkaar als varianten op een constructiemethode en maakte er een abstracte theorie van zonder directe verwijzing naar allerlei toepassingsmogelijkheden.[4] Deze beschrijvende meetkunde was volgens hem even onontbeerlijk als lezen, schrijven en rekenen. Het was net zo goed geschikt voor de arbeider, de vakman en de technisch ontwerper als voor de opzichter. Het was, volgens Monge, een gereedschap voor zowel het ontwerp als de uitvoering van het werk, en bovendien een middel waarmee alle betrokkenen effectief met elkaar zouden kunnen communiceren. De verder ontwikkeling van de industrie was volgens hem direct van deze mathematische methode afhankelijk.[6]

Overzicht van de beginselen van projectie uit 1869

Door wetten en decreten betreffende het openbaar onderwijs rond 1812 werd de beschrijvende meetkunde voor het onderwijs in Nederland voorgeschreven naar Frans voorbeeld.[7] In het technisch onderwijs in de 19e eeuw werd beschrijvende meetkunde gecombineerd met het technisch tekenen van werktuigbouwkundige of bouwkundige constructies. De machinebouw werd toen veel belangrijker dan de architectuur. Door de ingewikkelder constructie en moeilijker maatvoering in de verkorting verliest perspectief hoe langer hoe meer terrein aan de axonometrie. In de bouwkunde bleef het vak voor presentaties gehandhaafd.[4]

Tot in de jaren 1960 was beschrijvende meetkunde in Nederland een zelfstandig onderdeel van het vak wiskunde in het voortgezet onderwijs.[1] Sindsdien is het geïntegreerd in het bestaande wiskunde onderwijs. In Vlaanderen wordt het nog als een zelfstandig vak onderwezen als keuzevak in de derde graad (twee laatste jaren) van de afdeling wiskunde-wetenschappen van de humaniora.

Onderwerpen van de beschrijvende meetkunde[bewerken]

Projectie[bewerken]

Beginsel van de vlakke evenwijdige projectie.

Projectie in de meetkunde is een bepaald soort transformatie, waarmee een hogerdimensionale ruimte tot een lagerdimensionale ruimte wordt teruggebracht. De meetkunde kent verschillende soorten projecties. De hoofdgroepen van projecties zijn:[8]

  • De parallelprojecties of axonometrieën: Het te tekenen gebied wordt hierbij met behulp van evenwijdige lijnen geprojecteerd op het beeldoppervlak.
  • De convergerende projecties of perspectieven: Het te tekenen object wordt vanuit een gekozen standpunt op een beeldvlak geprojecteerd.

Projectievlak[bewerken]

Het projectievlak is het platte vlak waarop het ruimtelijk object wordt afgebeeld. In de beschrijvende meetkunde worden voornamelijk twee loodrecht op elkaar staande projectievlakken gebruikt. Alleen bij kaartprojectie is het projectievlak in veel gevallen gebogen; bij de kegelprojectie bijvoorbeeld is het projectievlak opgerold tot een kegel, en bij de cilinderprojectie is het opgerold tot een cilinder.

De projectiemethode schrijft de eigenschappen van de projecterende lijnen voor op het projectievlak. Dit is dan bijvoorbeeld loodrecht op het projectievlak, scheefhoekig, met het centrum op oneindig of uit een eindig punt.

Methode van Monge[bewerken]

De projectiemethode van Monge (ook genoemd orthogonale projectie) gaat uit van twee loodrecht op elkaar staande projectievlakken, om een driedimensionaal voorwerp op af te beelden. Het ene vlak wordt horizontaal denkbeeldig onder het voorwerp geplaatst (het horizontale projectievlak) en het andere vlak verticaal achter het voorwerp (het verticaal projectievlak). De snijlijn van de twee projectievlakken noemt men de XY-as. Daarbij wordt slechts de eerste ruimtehoek gebruikt. Bij beschrijvende meetkunde worden de vier ruimtehoeken gebruikt, komt het tweede deelvlak in beeld en vervalt de XY-as. [1]

Door nu de omtreklijnen van het voorwerp loodrecht op de projectievlakken te projecteren ontstaat een bovenaanzicht op het horizontaal projectievlak (de horizontale projectie) en een vooraanzicht op het verticaal projectievlak (de verticale projectie). Als men nu een van de vlakken wentelt rond de XY-as, zodat beide projectievlakken één vlak vormen, ontstaat op beide tezamen een projectietekening bestaande uit de twee genoemde aanzichten. Elk punt, rechte of vlak heeft dan een eigen hoogte en verwijdering. De hoogte is de loodrechte afstand van dat punt ten opzichte van het horizontaal projectievlak; de verwijdering is de afstand ten opzichte van het verticaal projectievlak. De projectie geeft een schijnbare omtrek weer van het voorwerp[1]

In de praktijk zal men een ruimtelijk object niet op ware grootte afbeelden, maar werkt men praktisch altijd op schaal.[1]

Drie axonometrische projecties.

Parallelprojecties[bewerken]

Een projectiemethode in het technisch tekenen is een methode om een ruimtelijk object op het platte vlak af te beelden met bepaalde aanzichten. Moderne projectiemethoden zijn:

Bij orthografische projectie wordt een driedimensionaal object vanuit verschillende hoeken gezien op een plat vlak getekend. Men plaatst alle aanzichten op een voorgeschreven manier onder en naast elkaar in een enkele tekening. Van belang is daarbij hoe tegen een object moet worden aangekeken. Hiervoor zijn twee methoden in gebruik: de Amerikaanse projectie en de Europese projectie.

Convergerende projecties[bewerken]

Lijnperspectief is een methode om de diepte zoals die wordt gezien in werkelijkheid, weer te geven op het platte vlak. Perspectieven van een ruimtelijk object stemmen in hoge mate overeen met het natuurlijke beeld dat een beschouwer van de werkelijkheid zou kunnen krijgen. De belangrijkste drie vormen zijn:[8]

  • het eenpunts- of centraalperspectief
  • het tweepuntperspectieven, en
  • het driepuntperspectief

naar het aantal gebruikte verdwijnpunten in de gebruikte projectiemethode.

België[bewerken]

In België maakt men onderscheid tussen beschrijvende meetkunde en wetenschappelijk tekenen.

  • Beschrijvende meetkunde leunt sterker over naar de wiskunde omdat het probleem wordt gedematerialiseerd door gebruik te maken van oneindige rechten en vlakken. Daarbij beperkt men zich niet tot de eerste ruimtehoek, maar maakt men gebruik van de vier ruimtehoeken zodat de xy-as wegvalt. Ook wendt men de bijzondere eigenschappen van het tweede deelvlak aan bij bepaalde opgaven. Een mogelijke opgave zou kunnen zijn: "Teken een rechte die door een gegeven punt gaat en twee kruisende rechten snijdt" of "Teken de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten". Deze opgaven trachten de leerling een vorm van abstract en methodisch denken bij te brengen.
  • Wetenschappelijk tekenen beperkt de ruimte tot de eerste ruimtehoek en kent de xy-as als snijlijn van de beide projectievlakken waardoor het mogelijk is van elk punt de coördinaten (hoogte en afstand) vanaf deze as op schaal uit te zetten. Men maakt gebruik van de bekende veelvlakken en volumes als prisma en piramide, cilinder en kegel met beperkte afmetingen. Een belangrijk onderdeel van het programma vormt de studie van de doorboringen en afscheuringen van twee voornoemde volumes.

Wetenschappelijk tekenen als schoolvak[bewerken]

Een cursus wetenschappelijk tekenen omvat een inleiding in de soorten projectiesystemen zoals orthogonale projectie (Europese en Amerikaanse methode), centrale en genummerde projectie.

Orthogonale of loodrechte projectie maakt gebruik van twee loodrecht op elkaar staande projectievlakken (het horizontale en verticale projectievlak) waarop alle punten van een voorwerp loodrecht worden geprojecteerd. Het is de bedoeling dat de leerling zich een beeld kan vormen van de ruimtelijke situatie aan de hand van beide projecties, nl. de horizontale en de verticale projectie.

Daarnaast is er ook aandacht voor verschillende perspectiefsystemen:

Al deze methoden laten toe om ruimtelijke objecten zonder al te grote vervormingen via één beeld aan de waarnemer voor te stellen.

Het vak heeft een hele waaier aan didactische eigenschappen: ruimtelijk inzicht ontwikkelen en ruimtelijke technische problemen oplossen, de oplossingen afbeelden op een ondubbelzinige wijze, fijnmotoriek verbeteren, volharding met zelfevaluatie. De leerling leert zich ook uitdrukken in een vooraf precies vastgelegde "taal". De vakinhouden vinden ook toepassing in het architectuurtekenen. Daarbij leert de leerling een tekenprogramma via de PC toepassen. De projectiesystemen vinden ook toepassing in de cartografie, de stereotomie en kunnen helpen praktische problemen van bijvoorbeeld het daktimmeren op te lossen, zoals de ware grootte zoeken van een hoekkeperspant door dit via wentelen uit te slaan.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. a b c d e Michel Roelens (2007). Workshop beschrijvende meetkunde Handout Nationale Wiskunde-Dagen 2007. Bezien 5 maart 2009.
  2. F. Van Roey, Rik Verhulst (1994). Exponent 5/6 - Ruimtemeetkunde. Uitgeverij De Boeck, 1994. ISBN 9002171161
  3. a b H. Strootman (1847). Wiskundige leercursus: ten gebruike der Koninklijke Militaire Akademie. Broese & Co., 1847.
  4. a b c d De Geschiedenis van de Perspectief De zestiende eeuw en daarna . Bezien 5 Maart 2009.
  5. Overzicht van de geschiedenis van de meetkunde Bezien 5 maart 2009.
  6. Eduard Glas (1991). De mathematisering van natuur, techniek en samenleving p. 189. Garant, 1991. ISBN 9053500480
  7. France (1812). Wetten en decreten betreffende het openbaar onderwijs met den franschen tekst. Gepubliceerd door A. Blussé.
  8. a b B. Leupen e.a. (2007). Ontwerp en analyse. 010 Publishers, 2007. ISBN 9064505586. p.210.