Poolcoördinaten

Een punt M met poolcoördinaten $r$ en $\theta$

De punten (3;60°) en (4;210°) in poolcoördinaten

De poolcoördinaten van een punt M in een cartesisch coördinatenstelsel in een plat vlak worden gevormd door het tweetal (r, θ), waarin r de afstand is van M tot de oorsprong O (de poolstraal) en θ de hoek (de poolhoek) - gemeten tegen de klok in - die de lijn OM maakt met de positieve x-as, die om deze reden de poolas wordt genoemd. Gebruikelijk is het om voor de hoek θ de "gewone" hoek te nemen, dus met een waarde in het bereik 0..2π radialen.

Poolcoördinaten en cartesische coördinaten

Overgang van pool- naar cartesische coördinaten

Het verband tussen de cartesische coördinaten (x,y) en de poolcoördinaten (r,θ) wordt gegeven door:

$\!x=r\ \cos(\theta)$

$\!y=r\ \sin(\theta)$

Omgekeerd geldt:

$r=\sqrt{x^2+y^2}\!$

$\theta=\arctan(y,x)\!$

Hierin is gebruikgemaakt van de uitgebreidere definitie van de arctangens:

$\arctan(y,x)=-i\log\left(\frac{x+iy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\!$

Met behulp van de gewone arctangens kan men de hoek θ als volgt in het interval [−π, π] bepalen:

$\theta = \begin{cases} \arctan(\frac yx) & \mbox{voor}\ x > 0\\ \arctan(\frac yx) + \pi & \mbox{voor}\ x < 0,\ y \geq 0\\ \arctan(\frac yx) - \pi & \mbox{voor}\ x < 0,\ y < 0\\ +\frac 12 \pi & \mbox{voor}\ x = 0,\ y > 0\\ -\frac 12\pi & \mbox{voor}\ x = 0,\ y < 0\\ \end{cases}$

Voorbeeld

De cartesische coördinaat (3,2)

de poolcoördinaten van (3,2)

Nemen we als voorbeeld in de 2-dimensionale ruimte het punt met gewone coördinaten:

$x=3, y =2\!$.

Dit punt heeft als poolcoördinaten:

$r = \sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$

en

$\theta=\arctan(\frac{2}{3})$.

Wanneer men een integraal in het xy-vlak moet omzetten naar een integraal in r en θ, worden dx en dy als functie van dr en dθ gegeven door:

$\displaystyle dx = dr.\cos\theta -r\sin\theta d\theta$

$\displaystyle dy = dr.\sin\theta +r\cos\theta d\theta$

In matrix notatie wordt dit:

$\begin{vmatrix} dx \\ dy \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \\\end{vmatrix} \begin{vmatrix} dr \\ d\theta\\ \end{vmatrix}$

De determinantwaarde van de matrix is r . Dit betekent dat een oppervlak dx.dy = r.dr.dθ De elementen van de matrix zijn de partiële afgeleiden van x en y naar r en θ

$dx.dy = \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}\right| dr.d\theta$

Men noemt deze matrix van de partiële afgeleiden de Jacobiaan van de coördinatentransformatie:

$J= \frac{\partial (r,\theta)}{\partial (x,y)}= \begin{bmatrix} \frac xr & \frac yr \\ \frac{-y}{r^2} & \frac x{r^2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\frac 1r \sin(\theta) & \frac 1r \cos(\theta) \end{bmatrix}$

Omgekeerd:

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -r \sin(\theta)\\ \sin(\theta) & r \cos(\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac xr& -y \\ \frac yr & x \end{bmatrix}$

Vectorveld

Het is gebruikelijk een vectorveld

$F(x,y)=(F_x(x,y),F_y(x,y))\,$

in poolcoördinaten te ontbinden in een component $F_r$ langs de poolstraal en een component $F_\theta$ loodrecht daarop in de richting van de hoek θ. Voor deze componenten geldt:

$F_r =\ F_x\cos(\theta)+F_y\sin(\theta)\,$

$F_\theta = -F_x\sin(\theta)+F_y\cos(\theta)\,$

Omgekeerd:

$F_x =F_r\cos(\theta)-F_\theta\sin(\theta)\,$

$F_y = F_r\sin(\theta)+F_\theta\cos(\theta)\,$

Rechte lijn

De vergelijking in poolcoördinaten van een rechte lijn die niet door de oorsprong gaat is r = b / cos(θ − θ₀), waarbij b de afstand van de lijn tot de oorsprong is en θ₀ de richting loodrecht op de lijn.

Complexe getallen

Een voorbeeld van een complex getal op het complexe vlak.

Poolcoördinaten kunnen ook worden gebruikt om complexe getallen te weergeven in het complexe vlak. Het complexe getal Z kan Carthesisch worden weergeven als: $z = x + iy\,$ waarbij x het reeële deel is en y het imaginaire deel. Het kan echter ook worden weergevel als: $z = re^{\theta i}$ waarbij r de straal is en θ de hoek ( in radialen ).

Hieruit ziet men al snel dat de Identiteit van Euler: $e^{i\pi} + 1 = 0\!$ geldt, omdat θ = π, dus een halve cirkel en r = 1 en men dus op de reeële getallen lijn bij -1 uitkomt. Tel daar 1 bij op en je krijgt 0.

Hogere dimensies

Poolcoördinaten zijn ook geschikt voor gebruik in meer dan twee dimensies. Er zijn verschillende generalisaties mogelijk. In het algemeen geldt dat een punt in de n-dimensionale ruimte geïdentificeerd wordt door $(r, \theta_1, \ldots, \theta_{n - 1})$, een voerstraal en n-1 welgedefinieerde hoeken.

Zie ook

• Gegeneraliseerde coördinaten
• Bolcoördinaten
• Cilindercoördinaten
• Poolcoördinaten in het Wikibook "Klassieke Mechanica"