Positiestelsel

Een positiestelsel is een talstelsel waarin een getal voorgesteld wordt door een rij symbolen, meestal cijfers, waarvan de positie op basis van een gekozen grondtal de bijdrage aan het getal bepaalt.

In het tegengestelde van het positiestelsel bestaan er verschillende tekens voor kleine en grote waarden. Romeinse cijfers zijn het bekendste voorbeeld. De ervaring heeft geleerd dat het positiestelsel in alle opzichten handiger is.

Het gebruikelijke grondtal is tien. Men twijfelt er niet aan dat dit grondtal is ontstaan doordat de mensen op hun vingers telden. Een getal als 1234 heeft dan de betekenis: 1×1000 + 2×100 + 3×10 + 4×1. De positie van een cijfer bepaalt de bijdrage in machten van het grondtal 10 aan het getal.

Een getal als som van termen

Een natuurlijk getal x laat zich in het decimale positiestelsel uitdrukken als een reeks van termen van machten van een ander natuurlijk getal, het grondtal, a:

$\,x= \sum_{i=0}^{k} x_i a^i$

of

$\,x = x_k a^k + ... + x_2 a^2 + x_1 a^1 + x_0 a^0$

waarbij de coëfficiënten x_i natuurlijke getallen zijn kleiner dan het grondtal, of nul.

In het a-tallige stelsel wordt x nu voorgesteld door de rij cijfers:

$\,x_k...x_2x_1x_0$.

De coëfficiënten x_i vormen in volgorde de cijfers van het getal. Het meest linkse cijfer x_k is de coëfficiënt van de hoogste macht van het grondtal, het meest rechtse x₀ de coëfficiënt van de eenheden (de 0-de macht van het grondtal).

Voorbeeld

In het 7-tallig stelsel wordt het getal 1234₁₀ geschreven als 3412₇, want:

$\,1234_{10} = 3 \times 7^3 + 4 \times 7^2 + 1 \times7^1 + 2 \times 7^0$.

Systematisch onder elkaar geschreven:

3 x 7 x 7 x 7 = 3 x 343 = 1029
4 x 7 x 7     = 4 x  49 =  196
1 x 7         = 1 x   7 =    7
2             = 2 x   1 =    2
                          ----
                          1234 

Deze berekening laat zich kort schrijven als het Hornerschema:

 7  |  3     4     1     2 
    |       21   175  1232
 -------------------------
       3    25   176  1234

waarin de tweede rij ontstaat door vermenigvuldiging van het grondtal 7 met het resultaat in de derde rij van de vorige kolom, dat de som is van eerste en tweede rij.

De cijfers laten zich eenvoudig bepalen als de resten bij successievelijk delen door 7:

1234 = 176 x 7 + 2
 176 =  25 x 7 + 1
  25 =   3 x 7 + 4
   3 =   0 x 7 + 3

De resten vormen van onder naar boven de cijfers van het gezochte getal.

Benamingen

Ieder getal waarvan de absolute waarde groter is dan 1 kan gekozen worden als basis voor een talstelsel, maar de gebruikelijkste talstelsels zijn:

• binair, tweetallig, het eenvoudigste stelsel, dat gebruikt wordt door computers.
• octaal, achttallig.
• decimaal, tientallig, het in het burgerlijk leven gebruikelijke talstelsel.
• duodecimaal, twaalftallig.
• hexadecimaal, zestientallig.
• vigesimaal, twintigtallig, gebruikelijk bij volkeren die op handen en voeten telden.
• sexagesimaal, zestigtallig stelsel, dat bij de Babyloniërs in gebruik was.

Hexadecimaal en (soms) octaal worden door informatici soms toegepast als verkorte notatie voor het binaire stelsel (zie verderop, bij Gecombineerde talstelsels).

Verder bestaan er gemengde talstelsels, waarin de verschillende cijfers verschillende grondtallen hebben.

Notatie

Schrijft men getal, dan is het belangrijk te weten welk stelsel gebruikt is. Dat doet men soms door het grondtal als subscript te vermelden, bijvoorbeeld 3112₇. Dat subscript is altijd decimaal.

In programmeertalen, waarin vaak binaire, octale en hexadecimale getallen worden gebruikt, gebruikt men verschillende notaties om het talstelsel aan te duiden, bijvoorbeeld een letter (X of H) voor of na een hexadecimaal getal. Een hexadecimaal getal kan met A, B, C, D, E, of F beginnen. Die tekens stellen in die context cijfers voor (hexadecimale cijfers) maar worden door de compiler als letters herkend. Omdat in programmeertalen een getal steeds met een echt cijfer moet beginnen, wordt zo nodig een nul aan het begin toegevoegd. Ook komt het voor dat de nul aan het begin voldoende is om aan te geven dat het getal octaal of hexadecimaal is.

Decimale getallen

In dit decimale telwerk (bijvoorbeeld een kilometerteller) heeft elk wieltje tien posities. Draait een wieltje van 9 naar 0, dan draait het volgende wieltje een stap verder.

In een hexadecimaal telwerk draait een wieltje een stap verder als het voorgaande wieltje van F naar 0 draait.

Het bekendste talstelsel is het decimale stelsel dat in het dagelijks leven door vrijwel iedereen gebruikt wordt.

157 = 100 + 50 + 7 = 1 × 10² + 5 × 10¹ + 7 × 10⁰

Getallen met cijfers achter de komma kunnen weergegeven worden met behulp van negatieve exponenten

0,25 = 0 + 0,2 + 0,05 = 0 × 10⁰ + 2 × 10⁻¹ + 5 × 10⁻²

Computer

Vrijwel alle hedendaagse digitale computers werken intern binair, dat wil zeggen met voor elke positie twee mogelijkheden. Een gegeven in de computer is daarom voor te stellen als een rij nullen en enen, dus als een getal uit het binaire talstelsel. Voor mensen is dat een bijzonder onoverzichtelijk talstelsel, door de enorme reeksen enen en nullen.

Een cijfer in het binaire stelsel heet een bit, wat een afkorting is van binary digit. (In het Engels betekent het echter ook beetje, wat in dit geval een aardige bijkomstigheid is.)

Voor een beter overzicht verdelen computertechnici de bits in groepjes van drie of vier. Een binair getal als 011010111001 ziet er dan uit als 011.010.111.001 of 0110.1011.1001, waardoor gemakkelijk de overeenkomstige notatie in het octale resp. hexadecimale stelsel gevonden kan worden.

Daartoe vervangt men ieder groepje door een cijfer. Heeft men groepjes van vier gemaakt, dan ontstaat het hexadecimale stelsel en zijn er 16 verschillende cijfers nodig. De tien gebruikelijke cijfers worden daarvoor uitgebreid met de letters van A t/m F. In deze context zijn dat dus geen letters meer, maar cijfers. Heeft men groepjes van drie gemaakt, dan ontstaat het octale stelsel en heeft men aan de cijfers van 0 t/m 7 voldoende. Het hierboven genoemde binaire getal ziet er octaal uit als 5271 en hexadecimaal als 6B9. Deze voorstellingen zijn voor mensen veel overzichtelijker, en sluiten goed aan bij het binaire talstelsel.

Merk op dat we het woord 'cijfer' zoals we dat in het dagelijks spraakgebruik gewend zijn, hier een uitbreiding heeft ondergaan. Een teken dat gebruikt wordt om een getal te representeren, is een cijfer. In een hexadecimaal getal worden de tekens A t/m F dus ook cijfers genoemd.

Rekenen in een talstelsel

Bij het rekenonderwijs wordt gebruikgemaakt van het cijferen (in kolommen zetten)

   2 3
   9 6
------- +
 1 1 9

Een ingewikkelde optelling wordt op zo'n manier vereenvoudigd tot een aantal basisoptellingen. De gedachtesprong hierbij is het één onthouden wanneer een basisoptelling boven het grondtal (hier 10) uitkomt.

De manier van opschrijven in kolommen die hierbij gebruikt wordt is prima geschikt om een getal te ontleden. Zo wordt 123 ontleed in 3×10⁰, 2×10¹ en 1×10². Hierbij wordt de 10 gebruikt omdat het getal een decimaal getal is. Voor talstelsels vul je daar het bijbehorende grondtal in.

Voor getallenstelsels heeft het zo zijn voordelen om getallen zo in kolommen te noteren. Zo kun je een getal uitsplitsen zonder de grondtal^positie te hoeven vermelden.

Gemengde en gecombineerde talstelsels

Er wordt getwijfeld aan de feitelijke juistheid van het volgende gedeelte Raadpleeg de bijbehorende overlegpagina voor meer informatie, en pas na controle desgewenst het artikel aan.

Het idee van gemengde en van gecombineerde talstelsels mag aanvankelijk vreemd voorkomen, maar toch zijn we er in het dagelijks leven mee vertrouwd.

Gemengde talstelsels

Dit is een digitale klok die de tijd in minuten en seconden aangeeft. Het is een gemengd talstelsel, want de wieltjes hebben van links naar rechts 6, 10, 6, en 10 posities.

Zo kan het ook. Elk wieltje heeft 60 posities. Deze klok werkt intern met een gecombineerd talstelsel.

Bij een gemengd talstelstel staan de verschillende cijfers van een getal in een verschillend talstelsel. In het dagelijks leven zien we dit met minuten en seconden. Zegt men dat iets 1 uur, 23 minuten en 45 seconden duurt, dan staan de 2 en de 4 in het zestallig stelsel. De overige cijfers staan gewoon in het tientallig stelsel. Hierdoor is het niet zo eenvoudig tijden bij elkaar op te tellen.

De formule aan het begin van dit artikel luidde

$\,x= \sum_{i=0}^{k} x_i a^i$

Dit geldt niet voor gemengde talstelsels, want daarin geldt voor elk cijfer een andere waarde van a. In plaats van aⁱ schrijven we nu een product van de opeenvolgende waarden. De formule wordt nu:

$\,x = \sum_{i=0}^{k} x_i \prod_{j=0}^{i-1} a_j$

of

$\,x = x_k a_{k-1} a_{k-2}...a_0 + ... + x_2 a_1 a_0 + x_1 a_0 + x_0$

De Maya's (zie verderop) kenden ook een gemengd talstelsel. Hun cijfers waren twintigtallig, maar een van de cijfers (het tweede cijfer van rechts) was 18-tallig.

Het linkercijfer

Opgemerkt wordt dat het grondtal van het linkercijfer a_k minder van belang is. Spreekt men van een tijdsduur van 59 minuten en 32 seconden, dan zijn dat $5 \times (10 \times 6 \times 10) + 9 \times (6 \times 10) + 3 \times (10) + 2$ seconden. Het grondtal van het cijfer 5 is in deze formule niet terug te vinden. Dat het tweede cijfer bij de Maya's 18-tallig is, merkt men pas bij getallen vanaf 360₁₀.

Gecombineerde talstelsels

Het is mogelijk twee of meer cijfers samen te vatten en als een enkel cijfer te beschouwen. Er ontstaat dan een gecombineerd talstelsel. Dat mag aanvankelijk vreemd lijken, maar het komt vaak voor.

Klok

De hiernaast afgebeelde klok gebruikt voor twee cijfers één wieltje, en werkt dus met een gecombineerd talstelsel. Voor de gebruiker van de klok maakt dat geen verschil.

Duizendtallen

Voor een goede leesbaarheid van grote decimale getallen wordt ook wel een groepering van cijfers gebruikt. Er wordt steeds na drie cijfers een punt of spatie gezet. Beschouw bijvoorbeeld de lichtsnelheid, deze is 299.792.458 m/s. We zien hier een verband tussen het tientallig en het duizendtallig talstelsel. Als elk driecijferig getal zou worden vervangen door één uniek symbool, dan zou een duizendtallig talstelsel ontstaan, en verschijnen er drie duizendtallige cijfers in plaats van de getallen 299, 792 en 458. Het aantal mogelijke cijfers is dan duizend en het maximale cijfer komt overeen met het getal 999.

Computer

Omdat binaire getallen erg onoverzichtelijk zijn, wordt in de informatica een binair getal vaak als hexadecimaal getal geschreven door steeds vier binaire cijfers bij elkaar te nemen. Dit gaat eenvoudig vanwege de verwantschap tussen beide stelsels. Ook het octale stelsel wordt soms gebruikt door van een binair getal steeds drie cijfers te combineren.

1. Dit is een binair telwerk. Elk wieltje - voor zover men nog van wieltjes kan spreken - heeft slechts twee posities. Er zijn dan ook geen cijfers boven en onder het afleesvenster te zien.	3. Dit is technisch hetzelfde als het telwerk van afb 2, maar hier wordt er een hexadecimaal cijfer getoond in plaats van vier bits. Het resultaat is een gecombineerd talstelsel - binair wordt voorgesteld door hexadecimaal.
2. Dit is ook een binair telwerk, maar nu zijn er vier cijfers per wieltje gecombineerd. Elk wieltje heeft nu zestien posities. het ziet er net zo uit als het telwerk in afb 1, maar de werking is anders.

Ongebruikelijke stelsels

Wiskundigen hebben geëxperimenteerd met nog meer talstelsels. Deze komen in het dagelijks leven niet voor. Het zijn onder andere:

Negatief grondtal

Een talstelsel kan zelfs een negatief grondtal hebben. Dit levert een zeer "springerig" patroon in de 'opeenvolgende' waarden.

Grondtal 0, 1 of -1

Talstelsels met het grondtal 0, 1 of -1 zijn niet geschikt om mee te tellen of te rekenen. Deze stelsels kennen immers alleen het cijfer 0.

Gebroken grondtal

Ook hoeven getallenstelsels niet per definitie een geheel getal als grondtal te hebben. Zo bestaan er ook 'virtuele getallenstelsels' met 12,6 cijfers. Omdat wij geen tekens kennen om bijvoorbeeld het cijfer 11,45 aan te duiden, wordt elke positie doorgaans gescheiden om ermee te kunnen werken. Het decimaal getal 28,2 wordt bijvoorbeeld als volgt uitgedrukt in het 12,6-tallig stelsel:

$\,28{,}2_{10} = 2 \times 12{,}6^1 + 3 \times 12{,}6^0 = 2|3_{12{,}6}$

Het getal 15,7 wordt dan geschreven als:

$15{,}7_{10}=1\times 12{,}6^1+3\times 12{,}6^0+1\times 12{,}6^{-1}+3\times 12{,}6^{-2}+3\times 12{,}6^{-3}+...=1|3|{,}|1|3|3|6|0|2|10|4|1|5|...$

Alternatief voor een grondtal (en machten daarvan)

Een ander ongebruikelijk stelsel is het faculteitssysteem. Dit is een gemengd talstelsel.