Exponentiële verdeling

Exponentiële verdeling
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters	$\lambda >0\,$ ratio of inverse schaal (reëel)
Drager	$x\in [0;\infty )$
Kansdichtheid	$\lambda e^{-\lambda x}$
Verdelingsfunctie	$1-e^{-\lambda x}$
Verwachtingswaarde	$\lambda ^{-1}\,$
Mediaan	$\ln(2)/\lambda \,$
Modus	$0\,$
Variantie	$\lambda ^{-2}\,$
Scheefheid	$2\,$
Kurtosis	$6\,$
Entropie	$1-\ln(\lambda )\,$
Moment- genererende functie	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,$
Karakteristieke functie	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,$
Portaal    Wiskunde

In de kansrekening en de statistiek is de exponentiële verdeling een continue verdeling. De exponentiële verdelingen worden vaak gebruikt voor het modelleren van de tijd tussen twee gebeurtenissen die met een constante gemiddelde snelheid voorkomen. De exponentiële verdeling is een specifiek geval van de gamma-verdeling.

Definitie

De kansdichtheid $f$ van een exponentiële verdeling wordt gegeven door:

$f(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

waar $\lambda >0$ de parameter van de verdeling is, die vaak een snelheidsparameter of intensiteitsparameter is. De verdeling wordt gedragen door het interval [0,∞). De verdeling wordt vanwege de negatieve exponent, ook wel negatief-exponentiële verdeling genoemd. Het is het continue analoog van de geometrische verdeling.

De verdelingsfunctie wordt gegeven door

$F(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

Alternatieve parameter

In plaats van de bovengenoemde parameter $\lambda$, wordt ook wel de parameter $\mu =1/\lambda$ gebruikt. De kansdichtheid heeft dan de vorm:

$f(x;\mu )=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{\mu }}e^{-x/\mu }&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.$

De parameter $\mu >0$ is het omgekeerde van de eerder genoemde snelheidsparameter $\lambda$, en stelt een levensduurparameter voor. Als een toevalsvariabele $X$ de levensduur van een biologisch of mechanisch systeem voorstelt en $X$ is exponentieel verdeeld met parameter $\mu$, dan is $E(X)=\mu$, dus de verwachte levensduur van het systeem bedraagt $\mu$ tijdseenheden.

Geheugenloosheid

De exponentiële verdeling heeft als merkwaardige eigenschap geheugenloosheid. Als $X$ een levensduur is die exponentieel verdeeld is, worden de overlevingskansen voor $x>0$ gegeven door:

$P(X>x)=e^{-\lambda x}$.

We leiden nu eenvoudig af dat voor $x,y>0$ geldt:

$P(X>x+y|X>x)={\frac {P(X>x+y)}{P(X>x)}}={\frac {e^{-\lambda (x+y)}}{e^{-\lambda x}}}=e^{-\lambda y}=P(X>y)$.

Daarin volgt de eerste stap uit de constatering dat de gebeurtenis $\{X>x+y\}$ een deel is van de gebeurtenis $\{X>x\}$; anders gezegd: als $X>x+y$, is vanzelf ook $X>x$.

· ·

Kansverdelingen